Definizione di continuità

[CaMpIoN]

Sul libro di analisi matematica che sto seguendo vi è scritta la seguente definizione di continuità:
Sia $f: D \to \mathbb{R}$, con $D \subseteq \mathbb{R}$, si dice che $f$ è continua in $x_0$ se si verifica una delle due condizioni seguenti:
a) $x_0$ è un punto isolato di $D$.
b) $x_0$ è un punto di accumulazione di $D$ e si ha
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \)

La b l'ho capita, la a mi è meno chiara.
Infatti se il punto è isolato allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che non non esistono punti di $D$ contenuti in $U$, per questi punti la funzione non è definita, quindi si hanno salti nei pressi di $x_0$, la funzione in questo caso non dovrebbe essere discontinua per la stessa definizione di continuità?

[Epimenide93]

Se \(x_0\) è isolato in \(D\) un sistema fondamentale di intorni per \(x_0\) in \(D\) è dato proprio da \(\{x_0\}\), non ci sono salti, nel senso che intorno a \(x_0\) "non succede niente" ed il valore che assume \(f\) in \(x_0\) non àltera la continuità della funzione. Questo è un discorso piuttosto qualitativo che faccio solo per fare appello al tuo intuito. Se vuoi un esempio pratico pensa a \(D = \{0\} \cup [1, + \infty[\) e ad \(f:D \to \mathbb{R}, \ x_0 \ne x \mapsto e^x, \ x_0 \mapsto \alpha \in \mathbb{R}\), prendi degli \(\alpha\) qualunque ed analizza quello che succede in \(0\) con la topologia indotta su \(D\), dopodiché torna sulla definizione astratta e il tutto dovrebbe risultarti un po' più chiaro.

In pratica su punti isolati qualsiasi funzione è sempre continua (e questo vale su qualsiasi topologia), per questo dal punto di vista topologico i punti isolati sono ben poco interessanti.

EDIT piccola nota: pensa a quel che succede con le successioni. Non si parla di successioni continue, perché non ha senso, però si studia la convergenza di una successione, che non è nient'altro che la possibilità di estendere per continuità una funzione \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) nell'unico punto di accumulazione di \(\widetilde{ \mathbb{N} }\), ovvero \(\infty\).

[onlyReferee]

Ciao CaMpIoN
Premettiamo che si possono dare varie definizioni di continuità tra loro equivalenti. Ciò che bisogna guardare è se la nostra funzione $f$ è continua nel proprio dominio, in tutte le altre parti non ci interessa. Giusto per darti un esempio in modo da farti capire considera la funzione seguente:
$f: (-\infty, -2] \cup {-1} \cup [2, +\infty) \rightarrow [0, \+infty)$
\[f(x)=
\begin{cases}
-x \quad \text{ se} \quad x \leq -2\\
0 \qquad \text{se} \quad x = -1\\
x \qquad \text{se} \quad x \geq 2
\end{cases}
\]
Come puoi vedere tale funzione è definita su tutti i punti del suo dominio (nessuno escluso) e $-1$ è punto isolato. Per $x = -1$ vale il punto $a$ della tua definizione e per tutti gli altri del dominio invece vale la $b$ (sono tutti punti di accumulazione).

[CaMpIoN]

Grazie Ragazzi!
Le vostre risposte mi hanno aiutato a capire una cosa che non avevo notato: non occorre che $x_0$ sia per forza un punto di accumulazione per poter definire la funzione $f$ continua nel punto.
Questo fatto non l'avevo preso in considerazione, invece è proprio questo che ci dice che una funzione è continua in $x_0$ se $x_0$ è isolato per $D$.
Praticamente nella definizione di continuità si ha
\(\displaystyle |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)
Che mostra che $x$ può essere uguale a $x_0$, quindi esiste sempre un $x \in D$, che è $x_0$, tale che si ha di conseguenza \(\displaystyle |f(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon \quad \to \quad 0<\varepsilon\)
In questo modo l'ho capito meglio, io consideravo invece la definizione di limite, per cui non si può avere $x=x_0$.
Grazie ancora.
@Epimenide93: Tuttavia non capisco cosa intendi con "non succede niente intorno a $x_0$", se magari mi chiarisci questo fatto te ne sarei grato.
Buona giornata.