Definizione COSTRUTTIVA di integrale

[magher391]

ciao ragazzi, in analisi 1,2 e anche 3 gli integrali sono uno strumento potente di calcolo(e nn solo). mi ricordo ancora in analisi 1 la definizione DESCRITTIVA di integrale di Riemann : "..se esiste ed è unico il numero coincidente con l'estremo superiore delle somme integrali inferiori e il l'inf delle s.int. superiori, dicasi int. definito....". Il mio quesito è: QUAL è UNA DEF COSTRUTTIVA DI INTEGRALE? in altre parole, perchè proprio la differenza di ascisse di una primitiva dà come risultato l'area sottesa alla curva in quell'intervallo di ascisse?ho letto molto libri sulla storia del calcolo infinitesimale, nessuno però ha risposto al mio quesito.. sarei onorato di poterne discutere con voi e con le vostre idee o conoscenze...
CIAOoo

[Luca.Lussardi]

In realtà la definizione costruttiva di integrale è quella che tu hai chiamato descrittiva. In Matematica una definizione o una dimostrazione è detta costruttiva se dimostri o definisci un oggetto costruendolo esplicitamente, e non dicendo solo, per argomentazioni logiche, che esso esiste. L'integrale di Riemann è un esempio di definizione (parzialmente) costruttiva, come gran parte delle definizioni fondamentali dell'Analisi Matematica (anche la derivata ha una definizione costruttiva).

Quello che tu invece chiami definizione costruttiva è il Teorema fondamentale del Calcolo integrale, che lega l'integrazione al calcolo delle primitive. Per capire perchè questo Teorema sia vero, indipendentemente dalla sua dimostrazione rigorosa, la cosa migliore è riuscire a capire il significato geometrico della derivazione della funzione integrale; un po' di passaggi formali con qualche $dx$ e facilmente si intuisce il Teorema.