Definizione calcolo dell'integrale
Ciao a tutti (: studiando gli Integrali ho trovato qualche dubbio nella sua definizione, nel senso ho capito che con integrale intendiamo l'area sottesa ad una certa funzione F(X) nell'intervallo (a;b) quindi corrisponde alla regione di piano che è contenuta tra le due rette parallele a e b.
Ho visto poi i diversi casi, cioè nel caso in cui la nostra f(x)=K quindi essendo una funzione costante, per calcolare l'area sarà sufficiente moltiplicare (b-a) per K poiché corrisponderebbero ad una base e altezza di un rettangolo; mentre è diverso il discorso di una funzione a scala, che è costante a tratti, perciò io avrò tanti intervallini del tipo (a,b) che chiamo x-x1;x1-x2;x2-x3;....xn-xn+1 e tante K che sarebbero le mie diverse altezze, quindi in realtà mi basta fare la somma delle singole aree dei miei rettangolini per ottenere l'area totale.
Quando però ho una funzione che non è costante e quindi il grafico mi restituisce un trapezzoide e non posso applicare la regoletta (b-a)k cerco una strada diversa ... e qui ho qualche dubbio, cioè : ho capito che anche se non posso calcolare la sua area posso considerare l'area di una funzione a scala che sia maggiore o uguale di f(x) o minore o uguale, perchè tra queste infinite funzioni a scala ce ne sono alcune che approssimano meglio di altre la mia funzione, e più tendo ad approssimare questa funzione a scala maggiore sarà la possibilità che l'area di f(x) sia uguale a quella della funzione a scala, e posso fare ciò praticamente approssimando per difetto, in questo modo ho che il mio estremo inferiore della funzione a scala coincide con la mia f(x) e quindi sono uguali i loro integrali... quello che non capisco è quando poi lo vado a svolgere come un esercizio cioè teoricamente perchè si cerca una primitiva? supponendo che quello che ho scritto sia corretto ....
Ho visto poi i diversi casi, cioè nel caso in cui la nostra f(x)=K quindi essendo una funzione costante, per calcolare l'area sarà sufficiente moltiplicare (b-a) per K poiché corrisponderebbero ad una base e altezza di un rettangolo; mentre è diverso il discorso di una funzione a scala, che è costante a tratti, perciò io avrò tanti intervallini del tipo (a,b) che chiamo x-x1;x1-x2;x2-x3;....xn-xn+1 e tante K che sarebbero le mie diverse altezze, quindi in realtà mi basta fare la somma delle singole aree dei miei rettangolini per ottenere l'area totale.
Quando però ho una funzione che non è costante e quindi il grafico mi restituisce un trapezzoide e non posso applicare la regoletta (b-a)k cerco una strada diversa ... e qui ho qualche dubbio, cioè : ho capito che anche se non posso calcolare la sua area posso considerare l'area di una funzione a scala che sia maggiore o uguale di f(x) o minore o uguale, perchè tra queste infinite funzioni a scala ce ne sono alcune che approssimano meglio di altre la mia funzione, e più tendo ad approssimare questa funzione a scala maggiore sarà la possibilità che l'area di f(x) sia uguale a quella della funzione a scala, e posso fare ciò praticamente approssimando per difetto, in questo modo ho che il mio estremo inferiore della funzione a scala coincide con la mia f(x) e quindi sono uguali i loro integrali... quello che non capisco è quando poi lo vado a svolgere come un esercizio cioè teoricamente perchè si cerca una primitiva? supponendo che quello che ho scritto sia corretto ....
Risposte
"NatP":
in questo modo ho che il mio estremo inferiore della funzione a scala coincide con la mia f(x) e quindi sono uguali i loro integrali...
Non è proprio così...
In pratica tu sai calcolare l'integrale (cioè l'area) su $[a,b]$ di una funzione a scala. Rimane il problema di calcolarlo per una funzione $f$ qualsiasi. Consideri tutte le funzioni a scala che sono maggiori di $f$, e calcoli l'integrale di queste funzioni, poi fai la stessa cosa con le funzioni a scala minori di $f$. Quello che ottieni sono due insiemi numerici composti rispettivamente dagli integrali delle funzioni a scala maggiori di $f$ e dagli integrali delle funzioni a scala minori di $f$. Questi due insiemi numerici (che sono sottoinsiemi di $\mathbb{R}$), sono disgiunti (o al più il minimo del primo è uguale al massimo del secondo) e ammettono estremi superiori e inferiori. Se l'estremo inferiore del primo è uguale all'estremo inferiore del secondo, cioè entrambi sono uguali ad $\alpha$, allora $f$ si dice integrabile secondo Riemann e si definisce
\[
\int_a^b f(x)dx=\alpha.
\]
Da come l'hai detta tu, sembra che $f$ sia l'estremo inferiore delle funzioni a scala che la maggiorano, mentre in realtà l'integrale di $f$ è l'estremo inferiore degli integrali delle funzioni a scala che la maggiorano.
"NatP":
quello che non capisco è quando poi lo vado a svolgere come un esercizio cioè teoricamente perchè si cerca una primitiva? supponendo che quello che ho scritto sia corretto ....
Questo è il contenuto del teorema fondamentale del calcolo integrale. Probabilmente non l'hai ancora studiato, ma sicuramente c'è nel capitolo che stai studiando.
Ecco esattamente questo punto non riuscivo a mettere a fuoco .... quindi in soldoni posso dire che se l'estremo inferiore dell'insieme degli integrali delle f che maggiorano la mia funzione e l'estremo superiore dell'insieme degli integrali delle f minori della mia funzione coincidono allora l'integrale della mia funzione corrisponde a quel valore ..? la formula fondamentale effettivamente c'è solo che mi confonde il libro 
Si la definizione è così.
Non ho capito se il problema è che non ti è chiaro il teorema fondamentale del calcolo integrale...
Non ho capito se il problema è che non ti è chiaro il teorema fondamentale del calcolo integrale...
Si esatto non riesco a capirla sul libro, sarò io il problema :/
In pratica il teorema fondamentale del calcolo integrale dimostra che data una funzione $f$ Riemann-integrabile su $[a,b]$, si ha che la funzione integrale definita su $[a,b]$ come
\[
F(x)=\int_a^xf(t)dt
\]
è continua, e se inoltre un punto $x_0\in (a,b)$ è tale che la $f$ è continua in $x_0$, allora $F$ è derivabile in $x_0$ e $F'(x_0)=f(x_0)$.
Supponiamo che queste cose sopra siano dimostrate. Ora consideriamo una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua (dunque Riemann-integrabile). Per il teorema sopra, $F(x)$ è continua e derivabile in ogni punto (dato che $f$ è continua in ogni $x_0\in(a,b)$) e inoltre $F'(x)=f(x)$ (ovvero $F$ è una primitiva di $f$).
Noi vogliamo calcolare
\[
\int_a^bf(t)dt,
\]
ovvero $F(b)$.
Una volta assegnata $f$, tu sei in grado (almeno con le $f$ date negli esercizi) di trovare una primitiva, che chiamiamo $\phi$. Una volta che tu hai trovato questa primitiva, hai che sia $F$ che $\phi$ sono primitive di $f$, ma dato che la primitiva è unica a meno di costanti, deve essere $F(x)=\phi(x)+c$. Inoltre dato che $F(a)=0$, hai che $\phi(a)+c=0$ ovvero $c=-\phi(a)$, e di conseguenza $F(b)=\phi(b)+c=\phi(b)-\phi(a)$, che era ciò che volevamo calcolare.
\[
F(x)=\int_a^xf(t)dt
\]
è continua, e se inoltre un punto $x_0\in (a,b)$ è tale che la $f$ è continua in $x_0$, allora $F$ è derivabile in $x_0$ e $F'(x_0)=f(x_0)$.
Supponiamo che queste cose sopra siano dimostrate. Ora consideriamo una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua (dunque Riemann-integrabile). Per il teorema sopra, $F(x)$ è continua e derivabile in ogni punto (dato che $f$ è continua in ogni $x_0\in(a,b)$) e inoltre $F'(x)=f(x)$ (ovvero $F$ è una primitiva di $f$).
Noi vogliamo calcolare
\[
\int_a^bf(t)dt,
\]
ovvero $F(b)$.
Una volta assegnata $f$, tu sei in grado (almeno con le $f$ date negli esercizi) di trovare una primitiva, che chiamiamo $\phi$. Una volta che tu hai trovato questa primitiva, hai che sia $F$ che $\phi$ sono primitive di $f$, ma dato che la primitiva è unica a meno di costanti, deve essere $F(x)=\phi(x)+c$. Inoltre dato che $F(a)=0$, hai che $\phi(a)+c=0$ ovvero $c=-\phi(a)$, e di conseguenza $F(b)=\phi(b)+c=\phi(b)-\phi(a)$, che era ciò che volevamo calcolare.
Ma il fatto che la F(x) sia continua? da cosa ce ne si rende conto?... quindi il fatto che f(x) sia continua in un certo punto x implica allora che F(x) sia integrabile in x ? e valga la relazione F'(x)= f(x)?.
Quindi se considero una funzione che sia continua in ogni punto x nell'intervallo (a,b) per il teorema che mi hai spiegato quella funzione è anche derivabile in ogni punto x, perciò posso calcolare l'integrale di quella funzione nell'intervallo considerato.
Una volta che ho assegnata la mia f, trovo la sua primitiva, sia F e la primitiva che ho trovato sono perciò primitive di f, ma siccome la primitiva è unica sicuramente saranno uguali quindi F=primitiva che ho calcolato.
solo che poi non mi è chiaro perché F(a)=0? ... scusa ma non è per nulla banale :O
Quindi se considero una funzione che sia continua in ogni punto x nell'intervallo (a,b) per il teorema che mi hai spiegato quella funzione è anche derivabile in ogni punto x, perciò posso calcolare l'integrale di quella funzione nell'intervallo considerato.
Una volta che ho assegnata la mia f, trovo la sua primitiva, sia F e la primitiva che ho trovato sono perciò primitive di f, ma siccome la primitiva è unica sicuramente saranno uguali quindi F=primitiva che ho calcolato.
solo che poi non mi è chiaro perché F(a)=0? ... scusa ma non è per nulla banale :O
"NatP":
Ma il fatto che la F(x) sia continua? da cosa ce ne si rende conto?...
Quello è il teorema che ti ho detto. Prima ti ho scritto "supponiamo che queste cose sopra siano dimostrate". Non ti metto tutta la dimostrazione qua.
"NatP":
quindi il fatto che f(x) sia continua in un certo punto x implica allora che F(x) sia integrabile in x ?
DERIVABILE. Non integrabile.
"NatP":
Quindi se considero una funzione che sia continua in ogni punto x nell'intervallo (a,b) per il teorema che mi hai spiegato quella funzione è anche derivabile in ogni punto x,
NOOO. Se $f$ è continua non è detto che sia derivabile. Ho detto che se $f$ è continua allora $F$ è derivabile.
"NatP":
Una volta che ho assegnata la mia f, trovo la sua primitiva, sia F e la primitiva che ho trovato sono perciò primitive di f, ma siccome la primitiva è unica sicuramente saranno uguali quindi F=primitiva che ho calcolato.
No! La primitiva è unica a meno di costanti. Quindi $F(x)=\phi(x)+c$.
"NatP":
solo che poi non mi è chiaro perché F(a)=0? ... scusa ma non è per nulla banale :O
Si che è banale. Quanto vale $F(a)=\int_a^af(t)dt$? Zero! Perché l'area dall'estremo $a$ ad $a$ è nulla!
P.s. Per favore usa il linguaggio LaTeX per scrivere le formule!!
detta così certo che è banale 
) ho capito mi metto sotto a studiare :/
) ho capito mi metto sotto a studiare :/
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