Definizione alternativa di rotore
Buonasera, sul mio libro di Analisi II (Apostol) ho trovato la seguente definizione alternativa di rotore:
C'è un modo per dimostrarla usando il teorema della divergenza o roba simile? Grazie in anticipo
C'è un modo per dimostrarla usando il teorema della divergenza o roba simile? Grazie in anticipo
Risposte
Se è una definizione non la devi dimostrare. Se invece quell'identità è un teorema, dove quindi [tex]\text{rot}F(a)[/tex] è definito nel modo solito, allora puoi sfruttare questa identità di calcolo vettoriale:
[tex]$\[ \iint _{\partial V} \vec{n} \times \vec{F}\, dS = \iiint _{V} \nabla \times \vec{F} \, dV \][/tex]
e osservare quindi che a secondo membro della tua identità compare il limite di una media integrale su un volume (immagino che sia una sfera o qualcosa del genere) al tendere a zero del volume stesso. Per la regolarità di [tex]\vec{F}[/tex] (precisamente occorre la classe [tex]C^1[/tex]) questo è proprio [tex]\nabla \times \vec{F}[/tex].
[tex]$\[ \iint _{\partial V} \vec{n} \times \vec{F}\, dS = \iiint _{V} \nabla \times \vec{F} \, dV \][/tex]
e osservare quindi che a secondo membro della tua identità compare il limite di una media integrale su un volume (immagino che sia una sfera o qualcosa del genere) al tendere a zero del volume stesso. Per la regolarità di [tex]\vec{F}[/tex] (precisamente occorre la classe [tex]C^1[/tex]) questo è proprio [tex]\nabla \times \vec{F}[/tex].
È proprio quello che cercavo 
questa identità ha un nome in letteratura?
questa identità ha un nome in letteratura?
No, non credo che abbia molti usi. Comunque puoi consultare Div, grad, curl and all of that di Schey, esercizio III-29.
Lascio a chi vuole leggerla l'idea per ricavare l'identità di dissonance: (con [tex]\vec i,\ \vec j,\ \vec k[/tex] indico i versori degli assi)
uso il teorema della divergenza con [tex]\vec F\times \vec i[/tex] e ottengo [tex]$\iint _{\partial V} \vec{n} \cdot (\vec{F}\times\vec i)\, dS = \iiint _{V} \nabla \cdot (\vec{F}\times\vec i)\, dV[/tex]
Osservo che (proprietà del prodotto misto)
[tex]\bullet\ \ \vec{n} \cdot (\vec{F}\times\vec i)=(\vec n \times \vec F)\cdot\vec i[/tex]
[tex]\bullet\ \ \nabla \cdot (\vec{F}\times\vec i)=(\nabla\times \vec F)\cdot\vec i[/tex]
dunque [tex]$\left(\iint _{\partial V} \vec n \times \vec F\, dS\right)\cdot\vec i = \left(\iiint _{V} \nabla\times \vec F\, dV\right)\cdot\vec i[/tex]
e ripetendo lo stesso ragionamento con [tex]\vec j[/tex] e [tex]\vec k[/tex] ottengo che le componenti dei due membri dell'identità sono uguali.
Grazie ancora a dissonance
uso il teorema della divergenza con [tex]\vec F\times \vec i[/tex] e ottengo [tex]$\iint _{\partial V} \vec{n} \cdot (\vec{F}\times\vec i)\, dS = \iiint _{V} \nabla \cdot (\vec{F}\times\vec i)\, dV[/tex]
Osservo che (proprietà del prodotto misto)
[tex]\bullet\ \ \vec{n} \cdot (\vec{F}\times\vec i)=(\vec n \times \vec F)\cdot\vec i[/tex]
[tex]\bullet\ \ \nabla \cdot (\vec{F}\times\vec i)=(\nabla\times \vec F)\cdot\vec i[/tex]
dunque [tex]$\left(\iint _{\partial V} \vec n \times \vec F\, dS\right)\cdot\vec i = \left(\iiint _{V} \nabla\times \vec F\, dV\right)\cdot\vec i[/tex]
e ripetendo lo stesso ragionamento con [tex]\vec j[/tex] e [tex]\vec k[/tex] ottengo che le componenti dei due membri dell'identità sono uguali.
Grazie ancora a dissonance
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