Definizione

[davide940]

Alla domanda : quando una funzione è sia concava che convessa? è corretto rispondere : quando la derivata seconda è nulla per ogni x appartenente al dominio?

[galessandroni]

Derivata seconda, ovviamente.

Tuttavia io parlerei di "funzione né concava, né convessa", come la retta, per esempio.

[iH8u]

è concava se, per $f:I->R$ derivabile, $AAc,x in I$, si ha $f(x)≥f(c)+f'(c)(x-c)$ e viceversa se concava, in più, per test di convessità sappiamo che, $f$ è convessa se, e solo se, $f'$ è crescente, e viceversa se concava.

[gugo82]

Scusate, ma chi ve lo ha detto che una funzione concava o convessa è derivabile addirittura due volte?

La risposta corretta è:

"Quando la funzione è affine, cioé un polinomio di primo grado del tipo \(f(x):=m\ x+ q\), in \(I\)."

Riprendiamo dalla definizione:

Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo e \(f:I\to \mathbb{R}\).
La \(f\) è convessa [risp. concava] in \(I\) se e solo se presi ad arbitrio \(x_1,x_2\in I\) risulta:
\[
f\big( \lambda\ x_1+ (1-\lambda)\ x_2\big)\leq \lambda\ f(x_1)+ (1-\lambda)\ f(x_2) \qquad \text{[risp. } f\big( \lambda\ x_1+ (1-\lambda)\ x_2\big)\geq \lambda\ f(x_1)+ (1-\lambda)\ f(x_2) \text{]}
\]
per ogni \(\lambda \in [0,1]\).

Dire che una funzione è contemporaneamente concava e convessa in \(I\) equivale a dire che per ogni \(x_1 \[
f\big( \lambda\ x_1+ (1-\lambda)\ x_2\big)\leq \lambda\ f(x_1)+ (1-\lambda)\ f(x_2) \leq f\big( \lambda\ x_1+ (1-\lambda)\ x_2\big)
\]
ossia:
\[
\tag{1}
f\big( \lambda\ x_1+ (1-\lambda)\ x_2\big)= \lambda\ f(x_1)+ (1-\lambda)\ f(x_2)
\]
per ogni \(\lambda \in [0,1]\).
Prendiamo adesso \(x\in [x_1,x_2]\) e mostriamo che esso si scrive come \(\theta_x\ x_1+ (1-\theta_x)\ x_2\) per un opportuno \(\theta_x \in [0,1]\): invero si ha:
\[
\tag{2}
\begin{split}
x &= x-x_2+x_2\\
&= \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\ (x_1-x_2) +x_2\\
&= \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\ x_1+ \left(1-\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\right)\ x_2
\end{split}
\]
ed è evidente che \(\theta_x := \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\in [0,1]\). Ponendo \(\lambda = \theta_x\), da (1) e (2) segue:
\[
\begin{split}
f(x) &= \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\ f(x_1)+ \left( 1-\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\right)\ f(x_2)\\
&= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ (x - x_2) + f(x_2)
\end{split}
\]
per ogni \(x\in [x_1,x_2]\), cosicché in \([x_1,x_2]\) il grafico della \(f\) coincide con il segmento per i punti \(\big( x_1,f(x_1)\big)\) e \(\big( x_2,f(x_2)\big)\).
Ora, se \(I\) è chiuso e limitato, cioé se \(I=[a,b]\), si possono prendere \(x_1=a\) ed \(x_2=b\) di modo che da quanto appena detto segue che:
\[
f(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\ (x - b) + f(b)\; ,
\]
quindi \(f\) è affine ed abbiamo finito.
Se \(I\) non è chiuso o non è limitato, detti \(a:=\inf I\) e \(b:=\sup I\), costruiamo due successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) fatte da punti di \(I\) tali che:

[*:1lbzt3uj] \((a_n)\) è strettamente decrescente e \((b_n)\) è strettamente crescente;

[/*:m:1lbzt3uj]
[*:1lbzt3uj] \(a
[/*:m:1lbzt3uj]
[*:1lbzt3uj] \(a_n\to a\) e \(b_n\to b\);[/*:m:1lbzt3uj][/list:u:1lbzt3uj]
così facendo abbiamo:
\[
\begin{split}
f(x) &= \frac{f(b_n) - f(a_n)}{b_n-a_n}\ (x-b_n) + f(b_n)\\
&= \frac{f(b_n) - f(a_n)}{b_n-a_n}\ x + \frac{b_n\ f(a_n) - a_n\ f(b_n)}{b_n-a_n}\\
&= m_n\ x + q_n\; ,
\end{split}
\]
ove \(m_n:= \frac{f(b_n) - f(a_n)}{b_n-a_n}\) e \(q_n := \frac{b_n\ f(a_n) - a_n\ f(b_n)}{b_n-a_n} \), per ogni \(x\in [a_n,b_n]\) ed ogni indice \(n\). Dato che la successione di intervalli è crescente rispetto all'inclusione, cioé dato che \([a_n,b_n]\subset [a_{n+1} , b_{n+1}]\) per ogni indice \(n\), e dato che due funzioni affini coincidono in un intervallo solo se hanno uguali il coefficiente angolare e l'intercetta, si ha necessariamente:
\[
\begin{cases}m_{n+1} = m_n\\
q_{n+1}=q_n
\end{cases}
\]
per ogni indice \(n\), dunque \(m_n=m_0\) e \(q_n=q_0\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\); quindi:
\[
\tag{3}
f(x) = m_0\ x + q_0
\]
per ogni \(x\in [a_n,b_n]\) ed ogni indice \(n\).
D'altro canto, per costruzione, la successione d'intervalli \([a_n,b_n]\) invade l'interno di \(I\), nel senso che \(]a,b[ = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]\), dunque ogni punto \(x\) interno ad \(I\) appartiene ad un \([a_\nu ,b_\nu]\); perciò la (3) assicura che:
\[
f(x) = m_0\ x + q_0
\]
per ogni punto \(x\in ]a,b[=\operatorname{int} I\).
Quindi una funzione che è contemporaneamente concava e convessa in \(I\) è affine nell'interno. Per continuità, la relazione vale eventualmente pure in quello fra gli estremi di \(I\) che appartiene ad \(I\).