Definire la funzione

[LeoIII]

Trova la funzione N(t) il cui valore raddoppia ogni t=20min
Per N(0) assume un valore noto

Io avevo pensato così:

Raddoppia ogni 20 minuti significa che (+100%)/(20m) = (+5%)/(min)

N(0) = N(0)
N(1) = N(0) + 0,05 * N(0) = 1,05 * N(0)
N(2) = N(1) + 0,05 * N(1) = 1,05 * N(1)
N(3) = 1,05 * N(2)

Sostituendo

N(3) = 1,05 * N(2) = 1,05 * 1,05 * N(1)= 1,05 * 1,05 * 1,05 * N(0) = (1,05)^3 * N(0)

In generale

N(t) = (1,05)^t * N(0)


Tuttavia facendo l'esempio più semplice di una funzione simile

N(0) = 1;
N(x) = 2;
N(y) = 4;
N(z) = 8;
... e così via i conti non tornano.

Infatti, scegliendo N(0) = 0

e utilizzando la funzione creata:

N(t)= (1,05)^t * N(0)

dovrebbe risultare che, come previsto, dopo venti minuti l'incremento previsto è del 100%, ovvero

N(0) = 1
N(20) = 2

Tuttavia:

N(20) = (1,05)^20 * N(0) - con N(0) = 1

è diversa da 2 (circa 2,6)

Qualche suggerimento?

[pilloeffe]

Ciao LeoIII,

"LeoIII":Trova la funzione N(t) il cui valore raddoppia ogni t=20min

$N(t) = N(0) \cdot 2^{t/20} $

Infatti, supponendo per semplicità $N(0) = 1 $, si ha:

$N(20) = 1 \cdot 2 = 2 = 2 \cdot N(0) $
$N(40) = 1 \cdot 2^2 = 4 = 2 \cdot N(20) $
$N(60) = 1 \cdot 2^3 = 8 = 2 \cdot N(40) $
$N(80) = 1 \cdot 2^4 = 16 = 2 \cdot N(60) $
$N(100) = 1 \cdot 2^5 = 32 = 2 \cdot N(80) $
$N(120) = 1 \cdot 2^6 = 64 = 2 \cdot N(100) $
$vdots $

[LeoIII]

Grazie! Tuttavia non capisco come mai il metodo che ho usato non funziona.. sulla carta mi sembra un ragionamento giusto!

[orsoulx]

"LeoIII":Tuttavia non capisco come mai...

Il medesimo errore di chi, in matematica finanziaria, sostenga che un tasso di interesse composto del 5% produca in 20 anni un montante doppio del capitale iniziale. Indubbiamente $ 0.05 cdot 20=1 $, ma $ (1+0.05)^20=2.653...\ne 2 $. Per ottenere il raddoppio voluto il tasso deve essere$ 2^{1/20)-1=3.526...% $.
Ciao

[LeoIII]

Grazie!