Def limite di funzione
Salve,
ho bisogno di una mano per un esercizio.
$lim_{x \to +\infty} 5cos(x) - x^2 = -\infty$
Devo dimostrare che questo limite è vero tramite la definizione di limite di funzione per $x -> +\infty$ che da come risultato $-\infty$.
Ho fatto:
$AA M > 0: \EE k > 0: 5cos(x) - x^2 < -M, \AAx > k$
Quindi arrivo alla disequazione:
$5cos(x) - x^2 < -M$
$x^2 -5cos(x) -M > 0$
Arrivato qui non so come continuare
Qualcuno potrebbe consigliarmi per favore?
Saluti!
ho bisogno di una mano per un esercizio.
$lim_{x \to +\infty} 5cos(x) - x^2 = -\infty$
Devo dimostrare che questo limite è vero tramite la definizione di limite di funzione per $x -> +\infty$ che da come risultato $-\infty$.
Ho fatto:
$AA M > 0: \EE k > 0: 5cos(x) - x^2 < -M, \AAx > k$
Quindi arrivo alla disequazione:
$5cos(x) - x^2 < -M$
$x^2 -5cos(x) -M > 0$
Arrivato qui non so come continuare
Qualcuno potrebbe consigliarmi per favore?
Saluti!
Risposte
Visto che $\cos x\geq -1$ puoi anche scrivere la disequazione di partenza come
[tex]$-M>5\cos x-x^2\geq -5-x^2$[/tex]
e quindi
[tex]x^2-(M-5)>0$[/tex]
le cui soluzioni sono
[tex]$x<-\sqrt{M-5},\qquad x>\sqrt{M-5},\qquad M>5$[/tex]
Fatto questo puoi concludere che...
[tex]$-M>5\cos x-x^2\geq -5-x^2$[/tex]
e quindi
[tex]x^2-(M-5)>0$[/tex]
le cui soluzioni sono
[tex]$x<-\sqrt{M-5},\qquad x>\sqrt{M-5},\qquad M>5$[/tex]
Fatto questo puoi concludere che...
@ciampax: Dovresti maggiorare, non minorare, no? 
Nel senso che [tex]$-M>5\cos x -x^2$[/tex] è verificata a fortiori se è verificata la disuguaglianza [tex]$-M>5-x^2$[/tex] (poiché [tex]$5-x^2\geq 5\cos x -x^2$[/tex]) e non [tex]$-M>-5-x^2$[/tex] come indicato nel tuo post precedente.
Ne viene che gli [tex]$x$[/tex] buoni per verificare la definizione di limite vengono fuori dalla soluzione della disequazione [tex]$x^2-5-M>0$[/tex] intorno a [tex]$+\infty$[/tex], cioè sono quelli nell'intervallo [tex]$]\sqrt{5+M} ,+\infty[$[/tex].
Nel senso che [tex]$-M>5\cos x -x^2$[/tex] è verificata a fortiori se è verificata la disuguaglianza [tex]$-M>5-x^2$[/tex] (poiché [tex]$5-x^2\geq 5\cos x -x^2$[/tex]) e non [tex]$-M>-5-x^2$[/tex] come indicato nel tuo post precedente.
Ne viene che gli [tex]$x$[/tex] buoni per verificare la definizione di limite vengono fuori dalla soluzione della disequazione [tex]$x^2-5-M>0$[/tex] intorno a [tex]$+\infty$[/tex], cioè sono quelli nell'intervallo [tex]$]\sqrt{5+M} ,+\infty[$[/tex].
@ gugo: ma che stai a dì? 
Ecco io avevo pensato alla medesima cosa, sapendo che cos x:
$-1 <= cos x <= 1$
Avevo pensato di dividere la disequazione in 2 soluzioni, una con
$-5cosx = -5$
e una con
$5cosx = 5$.
Poiché il problema è esposto da un unica disequazione, poiché le mie ipotesi la suddividono in due casi ho quindi pensato di fare un sistema con le due soluzioni che mi portano a trovare l'intersezione delle soluzioni.
Così potrebbe andare bene ?
$-1 <= cos x <= 1$
Avevo pensato di dividere la disequazione in 2 soluzioni, una con
$-5cosx = -5$
e una con
$5cosx = 5$.
Poiché il problema è esposto da un unica disequazione, poiché le mie ipotesi la suddividono in due casi ho quindi pensato di fare un sistema con le due soluzioni che mi portano a trovare l'intersezione delle soluzioni.
Così potrebbe andare bene ?
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