Def. Funzione analitiche

[denny101]

Mi date la definizione di Funzioni analitiche? grz!

[Plepp]

Una funzione analitica $f$ su un intervallo aperto $I$ è una funzione infinitamente derivabile in $I$ che è la somma della sua serie di Taylor. In altri termini, $f$ è analitica se la serie di Taylor di $f$ di punto centrale un $x_0\in I$ qualunque, i.e.[nota]$f^{(n)}$ è la derivata di ordine $n$ di $f$, $f^{(0)}$ si pone uguale a $f$.[/nota]
\[\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]
converge in $I$ e
\[\forall x\in I,\qquad f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

Ciao

[gugo82]

@ Plepp: Mi permetto di correggere una piccola imprecisione:

"Plepp":$ f $ è analitica se la serie di Taylor di $ f $ di punto centrale un $ x_0\in I $ qualunque, i.e.[nota]$ f^{(n)} $ è la derivata di ordine $ n $ di $ f $, $ f^{(0)} $ si pone uguale a $ f $.[/nota]
\[ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]
[strike]converge in $ I $[/strike] ha raggio di convergenza \(\rho(x_0)>0\) e
\[ \forall x\in I \color{red}{\cap ]x_0-\rho(x_0), x_0+\rho(x_0)[},\qquad f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]