Def. di limite: negazione

[matteo_campa_0523]

Ciao a tutti, vorrei chiedere riguardo alla negazione della definizione di limite. La negazione della def. di limite è:
$EE epsilon_0$ $>0$ $tc$ $ $ $AA$ $delta >0$ $ $ $EE x_delta in X-{x_0}$ $ $ $tc$ $|x-x_0|=epsilon_0$
dove $x_0$ è un punto di accumulazione per X, dominio della funzione $f:X->RR$ .
La domanda è: visto che c'è scritto $x_delta$, significa che $x$ dipende da $delta$. Cosa significa ?
Se dovessi spiegarlo io direi, anche se in modo inappropriato, che se cambio il $delta$ cambiano anche gli $x$ che hanno immagine al di fuori dell'intorno di $l$. Per esempio, se inizialmente assegno un certo valore al $delta$ e ottengo degli $x$, con un $delta$ più piccolo gli $x$ per cui si verifica quanto detto dalla negazione, non sono gli stessi.
In ogni caso, grazie in anticipo.

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Dove lo usi \(x_\delta\)?

[gugo82]

Sì, l'idea è quella che proponi tu.

Osserva che, in linea generale, ogni variabile quantificata con $EE$ dipende sempre dalla scelta di tutte le variabili quantificate con $AA$ in precedenza.
Ad esempio, quando scrivo:
\[
\forall \lambda > 0,\ \forall k \in \mathbb{R},\ \exists ! x \in \mathbb{R}:\quad f(x, \lambda) = k
\]
(che significa: per ogni valore di $lambda > 0$ e di $k in RR$ l'equazione $f(x, lambda) = k$ -nell'incognita $x$- ha un'unica soluzione reale) il valore di $x$ dipende sia dal valore scelto per $lambda in ]0,+oo[$, sia dal valore scelto per $k in RR$.

Un esempio concreto di questa situazione è il seguente: immagina di dover risolvere l'equazione logaritmica:
\[
\log_{1 + \lambda} x = k \; ,
\]
con $lambda > 0$. Per fatti noti dalle superiori (o dalla prima settimana del corso di Analisi) sai che essa ha per ogni $lambda > 0$ ed ogni $k in RR$ unica soluzione e la soluzione -che si calcola con metodi elementari- è:
\[
x= (1 + \lambda)^k \; ,
\]
e da questa formula appare chiaro come il valore dell'unica soluzione $x$ dipenda contemporaneamente dai valori di entrambi i parametri $lambda$ e $k$; quindi puoi scrivere che $x=x_{lambda , k}$.

Attenzione che però qui si presenta un caso particolare, cioè la dipendenza di $x$ da $lambda$ e $k$ è di tipo funzione, cioè puoi addirittura scrivere $x=x(lambda , k)$, perché è predicata anche l'unicità dell'oggetto $x$ oltre l'esistenza... Questo non è affatto il caso generale, poiché in generale esistenza ed unicità sono due cose ben distinte.

Per fare un esempio concreto, considera la disequazione:
\[
\log_{1 + \lambda} x > k
\]
la quale ha come soluzioni tutti i valori di $x in RR$ che soddisfano la limitazione:
\[
x > (1 + \lambda )^k\; .
\]
In questo caso puoi sempre scrivere che:
\[
\forall \lambda > 0,\ \forall k \in \mathbb{R},\ \exists x=x_{\lambda ,k} \in \mathbb{R}:\quad f(x,\lambda) > k
\]
(che significa: per ogni valore di $lambda > 0$ e di $k in RR$ la disequazione $f(x, lambda) > k$ -nell'incognita $x$- ha soluzioni reali) e però il valore $x_{lambda , k}$ non è univocamente determinato dalla scelta di $lambda$ o $k$ come nel caso precedente perché la disuguaglianza $x > (1 + \lambda )^k$ ti dà molto margine di scelta.

@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: Scommetto che OP avrebbe voluto scrivere $EE x=x_delta in X - \{ x_0\}\ t.c.$ etc...

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

"gugo82":
@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: Scommetto che OP avrebbe voluto scrivere $EE x=x_delta in X - \{ x_0\}\ t.c.$ etc...

Si', volevo fargliela scrivere bene.