Decrescenza funzione

[chess71]

Vi chiedo di dipanare questo mio dubbio.

Mi si chiede di determinare quando la funzione $y=arctg(1/x)$ è decrescente.
Ho calcolato la derivata prima che vale $doty= - 1/ (1+x^2)$, che è sempre negativa, per cui la mia risposta è stata
la funzione è sempre decrescente

il problema è che le opzioni recitavano:
a) decrescente per $x>0$
b) decrescente per ogni $x!=0$

questo escludeva la risposta che avrei dato esaminando soltanto la derivata prima, e cioè il fatto che fosse sempre decrescente.
Studiando la funzione in $0$, ho notato che il limite sinistro vale $-pi/2$ e quello destro $pi/2$, quindi la risposta esatta è la $a)$

Domanda: dove sbagliavo dicendo che essendo la derivata prima sempre negativa, la funzione era sempre decrescente?

[poncelet]

La risposta corretta è la b) in quanto la tua funzione non è definita in \(0\).

[Palliit]

Ciao. In realtà è decrescente (in senso stretto) per $x<0$ oppure per $x>0$, ma separatamente. Scritte così è corretta la (a), nel senso che è decrescente per $x<0$ OPPURE per $x>0$. Non è decrescente per $x!=0$ come si verifica facilmente mettendo $x_1=-1$ e $x_2=+1$; è evidentemente: $x_2>x_1$ mentre NON è: $arctan x_2
Comunque la derivata di: $arctan(1/x)$ è: $-1/(x^2+1)$ purchè sia $x!=0$.

[chess71]

esatto Pallit, il disegno della funzione fuga ogni dubbio.
Il fatto che anche Max sia stato tratto in inganno conferma la scivolosità del quesito