Decrescenza di una successione
salve ragazzi, devo studiare il carattere di una serie.
la serie in questione è la seguente: $ sum_(n =0 \) ^{oo}cos(npi)((√(n+1))-√n) $
è una serie a termini positivi, inoltre razionalizzando e scrivendo $ cos(npi)=(-1)^n $ si giunge a
$ sum_(n =0 \) ^{oo}(-1)^n (1/((√(n+1))+√n) ) $ .
è infinitesima, ma resta da dimostrare che è decrescente in modo tale che il criterio di leibniz mi garantisca che la serie converge.
per dimostrare la decrescenza calcolo la derivata prima e la pongo <0. mi darà i valori di n per cui la derivata prima sarà definitivamente negativa, da un certo punto in poi.
solo che non riesco a farlo concretamente.
stesso problema con la serie $ sum_(n =1 \) ^{oo}(-1)^n1/n $ . non so come dimostrare la decrescenza
la serie in questione è la seguente: $ sum_(n =0 \) ^{oo}cos(npi)((√(n+1))-√n) $
è una serie a termini positivi, inoltre razionalizzando e scrivendo $ cos(npi)=(-1)^n $ si giunge a
$ sum_(n =0 \) ^{oo}(-1)^n (1/((√(n+1))+√n) ) $ .
è infinitesima, ma resta da dimostrare che è decrescente in modo tale che il criterio di leibniz mi garantisca che la serie converge.
per dimostrare la decrescenza calcolo la derivata prima e la pongo <0. mi darà i valori di n per cui la derivata prima sarà definitivamente negativa, da un certo punto in poi.
solo che non riesco a farlo concretamente.
stesso problema con la serie $ sum_(n =1 \) ^{oo}(-1)^n1/n $ . non so come dimostrare la decrescenza
Risposte
Ciao itisscience,
Scusa ma... Qual è la definizione di successione decrescente?
Successione, non serie, dovresti correggere anche il titolo dell'OP...
Scusa ma... Qual è la definizione di successione decrescente?
Successione, non serie, dovresti correggere anche il titolo dell'OP...
una successione $ {a_k} $ è decrescente se $ a_k>a_{k+1} $ per ogni $ k $
prendiamo per esempio la seconda che ho scritto: $ sum_(n =0 \) ^{oo}(-1)^n1/n $
otteniamo: $ -1 +1/2 -1/3 +1/4 ...$ quindi studio la derivata prima, no?
prendiamo per esempio la seconda che ho scritto: $ sum_(n =0 \) ^{oo}(-1)^n1/n $
otteniamo: $ -1 +1/2 -1/3 +1/4 ...$ quindi studio la derivata prima, no?
"itisscience":
... quindi studio la derivata prima, no?
No...
Devi semplicemente dimostrare che $ a_(n+1) < a_n $
Chi è $a_n $ nel tuo caso?
Macché derivata prima!
Perché vuoi complicarti la vita?
Guarda bene: come sono le successioni $sqrt(n)$ e $sqrt(n+1)$? E com'è la loro somma? E com'è il reciproco di quest'ultima?
P.S.: Mi pare superfluo ribadire che le successioni non si possono derivare, ma quando ci vuole, ci vuole...
Perché vuoi complicarti la vita?
Guarda bene: come sono le successioni $sqrt(n)$ e $sqrt(n+1)$? E com'è la loro somma? E com'è il reciproco di quest'ultima?
P.S.: Mi pare superfluo ribadire che le successioni non si possono derivare, ma quando ci vuole, ci vuole...
$ √n $ e $ √(n+1) $ sono due successioni crescenti, la loro somma è una successione crescente quindi il reciproco sarà decrescente. corretto?
mi mandava in tilt quel $ (-1)^n $ all'inizio. non devo considerarlo?
ps. avrei derivato $ f(x)=cos(xpi)(√(x+1)-√(x)) $
mi mandava in tilt quel $ (-1)^n $ all'inizio. non devo considerarlo?
ps. avrei derivato $ f(x)=cos(xpi)(√(x+1)-√(x)) $
"itisscience":
$ √n $ e $ √(n+1) $ sono due successioni crescenti, la loro somma è una successione crescente quindi il reciproco sarà decrescente. corretto?
Sì, e visto che sono anche positive, sei sicuramente a cavallo.
"itisscience":
mi mandava in tilt quel $ (-1)^n $ all'inizio. non devo considerarlo?
Il teorema di Leibniz che dice?
"itisscience":
ps. avrei derivato $ f(x)=cos(xpi)(√(x+1)-√(x)) $
Peggio mi sento...
ok ho capito, l'unica cosa non chiara è cosa non basta per dimostrare la decrescenza
Beh, si ha:
$a_n = 1/(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}) \implies a_{n + 1} = 1/(\sqrt{n + 2}+\sqrt{n + 1}) $
Devi dimostrare che $a_{n + 1} < a_n \iff 1/(\sqrt{n + 2}+\sqrt{n + 1}) < 1/(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}) $
Non mi pare complicato...
(risulta che è vero $\AA n >= 0 $)
$a_n = 1/(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}) \implies a_{n + 1} = 1/(\sqrt{n + 2}+\sqrt{n + 1}) $
Devi dimostrare che $a_{n + 1} < a_n \iff 1/(\sqrt{n + 2}+\sqrt{n + 1}) < 1/(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}) $
Non mi pare complicato...
(risulta che è vero $\AA n >= 0 $)
@ itisscience:
Nulla... Avevo scritto di corsa, ma ho corretto subito dopo.
@ pilloeffe: Beh, ma perché sciropparsi tutti quei conti se si può fare tutto "a occhio"?
"itisscience":
ok ho capito, l'unica cosa non chiara è cosa non basta per dimostrare la decrescenza
Nulla... Avevo scritto di corsa, ma ho corretto subito dopo.
@ pilloeffe: Beh, ma perché sciropparsi tutti quei conti se si può fare tutto "a occhio"?
"gugo82":
@ pilloeffe: Beh, ma perché sciropparsi tutti quei conti se si può fare tutto "a occhio"?
No, no, nessun sciroppamento di conti, ho solo impostato la disequazione...
Essendo tutte quantità positive, si può anche riscrivere nella forma equivalente
$ (\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})/(\sqrt{n + 2}+\sqrt{n + 1}) < 1 $
che come giustamente hai scritto "a occhio" si vede ancora meglio che è vera $\AA n \ge 0 $
certo, grazie.
quindi devo sempre cercare di dimostrare la decrescenza semplicemente mostrando un termine è più grande di quello successivo. non scomodo mai la derivata prima?
quindi devo sempre cercare di dimostrare la decrescenza semplicemente mostrando un termine è più grande di quello successivo. non scomodo mai la derivata prima?
"itisscience":
non scomodo mai la derivata prima?
"gugo82":
P.S.: Mi pare superfluo ribadire che le successioni non si possono derivare [...]
Forse non è poi così superfluo...
ultime domandae che mi permetteranno (spero) di risolvere i miei dubbi sulla decrescenza.
la serie in questione è $ sum_(n =1) ^{+oo}(-1)^{n+1}n^alpha(e^(1/n)-1) $ e voglio usare il criterio di Leibniz.
non ho problemi nel capire che $ n^alpha(e^(1/n)-1) $ è una successione positiva e infinitesima, ma il motivo della decrescenza, ancora una volta, non mi è chiara perchè non riesco a dimostrarla come fatto prima.
stesso problema l'ho riscontrato in $ sum_(n =1) ^{+oo}[1/n-log(1+1/n)] $ di cui voglio dimostrare che si tratta di una successione a termini positivi e decrescente. ho pensato che potessi farlo passando allo sviluppo di taylor perchè così il tutto diventa molto più semplice: $ 1/n-(1/n-1/(2n^2)+o(1/n^3))=1/(2n^2)+o(1/n^3) $ che è chiaramente positiva e decrescente.
la serie in questione è $ sum_(n =1) ^{+oo}(-1)^{n+1}n^alpha(e^(1/n)-1) $ e voglio usare il criterio di Leibniz.
non ho problemi nel capire che $ n^alpha(e^(1/n)-1) $ è una successione positiva e infinitesima, ma il motivo della decrescenza, ancora una volta, non mi è chiara perchè non riesco a dimostrarla come fatto prima.
stesso problema l'ho riscontrato in $ sum_(n =1) ^{+oo}[1/n-log(1+1/n)] $ di cui voglio dimostrare che si tratta di una successione a termini positivi e decrescente. ho pensato che potessi farlo passando allo sviluppo di taylor perchè così il tutto diventa molto più semplice: $ 1/n-(1/n-1/(2n^2)+o(1/n^3))=1/(2n^2)+o(1/n^3) $ che è chiaramente positiva e decrescente.
La seconda serie col logaritmo è convergente perché è a termini positivi (cosa c'entra in questo caso il criterio di Leibniz?) e si comporta come la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 $ e fra l'altro è una serie molto particolare convergente alla costante di Eulero-Mascheroni $\gamma$:
$\sum_{n = 1}^{+\infty}[1/n-log(1+1/n)] = \gamma = 0,5772156649... $
Per la prima serie invece
Non ne sarei proprio così sicuro, qui c'è da fare una discussione a seconda del valore di $\alpha $: se $\alpha = 1 $ cosa accade per $n \to +infty $? Considera che $ (e^{1/n}−1) $[tex]\sim[/tex] $1/n $ sicché la serie assoluta diventa la serie armonica generalizzata...
$\sum_{n = 1}^{+\infty}[1/n-log(1+1/n)] = \gamma = 0,5772156649... $
Per la prima serie invece
"itisscience":
non ho problemi nel capire che $n^{\alpha}(e^{1/n}−1) $ è una successione positiva e infinitesima
Non ne sarei proprio così sicuro, qui c'è da fare una discussione a seconda del valore di $\alpha $: se $\alpha = 1 $ cosa accade per $n \to +infty $? Considera che $ (e^{1/n}−1) $[tex]\sim[/tex] $1/n $ sicché la serie assoluta diventa la serie armonica generalizzata...
Quest’ultimo è un caso più delicato, fondamentalmente perché hai il prodotto di due successioni, i.e. quelle di termini generali $n^alpha$ ed $e^(1/n) - 1$, positive che in generale non hanno la stessa monotonia (la seconda è strettamente decrescente, ma la monotonia della prima dipende da $alpha$[nota]Ed è strettamente crescente [risp. decrescente] quando $alpha > 0$ [risp. $<0$], altrimenti è costante (se $alpha = 0$).[/nota]).
Quindi puoi concludere che c'è decrescenza stretta in maniera diretta solo se $alpha <= 0$; per $alpha > 0$, invece, ti serve un ragionamento meno elementare… E puoi provare in diversi modi.
Innanzitutto, $e^(1/n) - 1$ è infinitesima d’ordine $1$, cosicché $e^(1/n) - 1 ~~ 1/n$ e $n^ alpha (e^(1/n) - 1) ~~ 1/n^(1-alpha)$.
Ciò implica che per $alpha >= 1$ la serie non soddisfa la Condizione Necessaria alla Convergenza, quindi diverge positivamente; mentre per $0 <= alpha < 1$ devi fare necessariamente altre indagini.[nota]Questo ragionamento mostra anche che Leibniz non serve a nulla nel caso in cui è immediatamente applicabile, cioè per $alpha < 0$: infatti, se $alpha$ è negativo, gli addendi sono infinitesimi d’ordine $>1$ e c’è convergenza assoluta.[/nota]
Un modo, che è quello che proponi, consiste nel notare che la successione $a_n := n^alpha (e^(1/n) - 1)$ è formata dai valori assunti in $x = n in NN$ dalla funzione $f(x) := x^alpha (e^(1/x) - 1)$ -definita, continua e di classe $C^oo$ almeno in $]0, +oo[$-.
Quindi per stabilire la monotonia di $a_n$ ti basta dimostrare che $f(x)$ è decrescente (almeno per $x$ “grandi”): vista la regolarità di $f(x)$, ciò può essere fatto studiando il segno della sua derivata prima.[nota]Quindi, quando derivi, non stai derivando $a_n$, ma una funzione regolare (tra le tante possibili) di cui gli $a_n$ sono i valori assunti sui numeri naturali.[/nota]
Un altro modo può essere quello di sfruttare bene la definizione di monotonia e disuguaglianze note.
Oppure altro, dipende dalla particolare successione che hai davanti agli occhi.
Derivando trovi:
$f^\prime (x) = alpha x^(alpha - 1) (e^(1/x) - 1) - x^(alpha - 2) * e^(1/x) = x^(alpha - 2) * [(alpha x - 1) * e^(1/x) - alpha x]$
e basta studiare il segno del termine in parentesi quadre per capire come vanno le cose.
La disequazione risultante non è molto amichevole, perciò puoi ragionare col Teorema della Permanenza del Segno: dato che $lim_(x -> + oo) (alpha x - 1) * e^(1/x) - alpha x = -oo$, per $x$ “sufficientemente grandi” hai $f^\prime (x) < 0$.
Ne viene che $f(x)$ è strettamente decrescente per $x$ “sufficientemente grandi”, dunque $a_n$ è strettamente decrescente da un certo indice $nu_alpha$ in poi e sei a cavallo.
Quindi puoi concludere che c'è decrescenza stretta in maniera diretta solo se $alpha <= 0$; per $alpha > 0$, invece, ti serve un ragionamento meno elementare… E puoi provare in diversi modi.
Innanzitutto, $e^(1/n) - 1$ è infinitesima d’ordine $1$, cosicché $e^(1/n) - 1 ~~ 1/n$ e $n^ alpha (e^(1/n) - 1) ~~ 1/n^(1-alpha)$.
Ciò implica che per $alpha >= 1$ la serie non soddisfa la Condizione Necessaria alla Convergenza, quindi diverge positivamente; mentre per $0 <= alpha < 1$ devi fare necessariamente altre indagini.[nota]Questo ragionamento mostra anche che Leibniz non serve a nulla nel caso in cui è immediatamente applicabile, cioè per $alpha < 0$: infatti, se $alpha$ è negativo, gli addendi sono infinitesimi d’ordine $>1$ e c’è convergenza assoluta.[/nota]
Un modo, che è quello che proponi, consiste nel notare che la successione $a_n := n^alpha (e^(1/n) - 1)$ è formata dai valori assunti in $x = n in NN$ dalla funzione $f(x) := x^alpha (e^(1/x) - 1)$ -definita, continua e di classe $C^oo$ almeno in $]0, +oo[$-.
Quindi per stabilire la monotonia di $a_n$ ti basta dimostrare che $f(x)$ è decrescente (almeno per $x$ “grandi”): vista la regolarità di $f(x)$, ciò può essere fatto studiando il segno della sua derivata prima.[nota]Quindi, quando derivi, non stai derivando $a_n$, ma una funzione regolare (tra le tante possibili) di cui gli $a_n$ sono i valori assunti sui numeri naturali.[/nota]
Un altro modo può essere quello di sfruttare bene la definizione di monotonia e disuguaglianze note.
Oppure altro, dipende dalla particolare successione che hai davanti agli occhi.
Derivando trovi:
$f^\prime (x) = alpha x^(alpha - 1) (e^(1/x) - 1) - x^(alpha - 2) * e^(1/x) = x^(alpha - 2) * [(alpha x - 1) * e^(1/x) - alpha x]$
e basta studiare il segno del termine in parentesi quadre per capire come vanno le cose.
La disequazione risultante non è molto amichevole, perciò puoi ragionare col Teorema della Permanenza del Segno: dato che $lim_(x -> + oo) (alpha x - 1) * e^(1/x) - alpha x = -oo$, per $x$ “sufficientemente grandi” hai $f^\prime (x) < 0$.
Ne viene che $f(x)$ è strettamente decrescente per $x$ “sufficientemente grandi”, dunque $a_n$ è strettamente decrescente da un certo indice $nu_alpha$ in poi e sei a cavallo.
le risposte sono state davvero esaustive, vi ringrazio.
mea culpa, della serie $ sum_(n =1) ^{+oo}[1/n-log(1+1/n)] $ voglio dimostrare solamente che sia una serie a termini positivi. non ho capito se il metodo da me proposto per vedere che sia positiva: $ 1/n-(1/n-1/(2n^2)+o(1/n^3))=1/(2n^2)+o(1/n^3) $ è valido. perchè altrimenti, sicuramente $ 1/n>log(1/n) $ ma non mi risulta intuitivo capire che valga anche $ 1/n>log(1+1/n) $ .
mea culpa, della serie $ sum_(n =1) ^{+oo}[1/n-log(1+1/n)] $ voglio dimostrare solamente che sia una serie a termini positivi. non ho capito se il metodo da me proposto per vedere che sia positiva: $ 1/n-(1/n-1/(2n^2)+o(1/n^3))=1/(2n^2)+o(1/n^3) $ è valido. perchè altrimenti, sicuramente $ 1/n>log(1/n) $ ma non mi risulta intuitivo capire che valga anche $ 1/n>log(1+1/n) $ .
"itisscience":
[...] voglio dimostrare solamente che sia una serie a termini positivi.
Beh, se davvero vuoi fare solo questo la cosa più semplice è tener presente la ben nota disuguaglianza
$log(1 + x) < x $
che vale senz'altro $\AA x > 0 $ (se fai un disegno delle due funzioni $y = log(1 + x) $ e $y = x $ lo vedi immediatamente). Poi poni $x := 1/n > 0 $ ed il gioco è fatto...
perfetto, grazie davvero 
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