Decrescenza di ln(n)/n

[_luca94_1]

Ciao a tutti,
come si potrebbe dimostrare che la succesione $ln(n)/n$ decresce da un certo indice in poi?

Grazie

[jitter1]

Ciao Luca, ho provato a fare una dimostrazione algebrica, di cui non sono però sicura (dimmi che ne pensi).

Bisogna dimostrare che

$ log(n + 1)/(n+1)
$ log(n + 1)/logn<=(n+1)/n = 1 + 1/n $

$ log_n(n + 1)<=1 + 1/n $

$ log_n(n + 1)- 1 <= 1/n $

$ log_n(n + 1)- log_n n <= 1/n $

$ log_n(1 + 1/n) < 1/n $

se e solo se:

$ n^(1/n)>(1 + 1/n) $

$ n>(1 + 1/n)^n $

Ma la successione ${(1 + 1/n)^n}$ è limitata superiormente da $e = 2,7...$. Quindi per ogni $n >= 3$ l'affermazione è vera:
$(1 + 1/n)^n < 2, 7 < 3 = n$

[gugo82]

Oppure, in maniera del tutto analoga:
\[
\begin{split}
a_{n+1} &\Leftrightarrow \quad n\ \left(\log n + \log \left(1+\frac{1}{n}\right) \right)< (n+1)\ \log n\\
&\Leftrightarrow \quad n\ \log \left( 1+\frac{1}{n}\right) < \log n\\
&\Leftrightarrow \quad \log \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n < \log n\\
&\Leftrightarrow \quad \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n < n
\end{split}
\]
e l'ultima disuguaglianza è vera non appena $n\geq 3$ (perché la successione di termine generale \(\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\) assume valori minori di $3$), ma non è vera per $n=1,2$ (perché $a_1=0<\frac{\log 2}{2}a_2$ e $a_2=\frac{\log 2}{2}\approx 0.347< 0.366\approx \frac{\log 3}{3}=a_3$).

Quindi la successione di termine generale \(\frac{\log n}{n}\) è definitivamente strettamente decrescente, ma non strettamente decrescente.