Decomposizione funzione razionale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Leggo che se \(f(x)\) è una funzione polinomiale e \(g(x)\) è una funzione polinomiale di grado $n$ con radici semplici $x_1,...,x_n$ reali, allora\[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x_1)}{g'(x_1) (x-x_1)}+...+\frac{f(x_n)}{g'(x_n) (x-x_n)}\]
Mi sembra di vedere che sia lo stesso di dimostrare che\[\forall i=1,..,n\quad\frac{f(x_i)}{g'(x)}\prod_{j\ne i}(x-x_j)=f(x)\]ma più di questo non riesco ad ottenere, con quelle $x_i$ ad argomento di $f$...
Non ho trovato questo risultato prima d'ora né in testi di analisi né di algebra: qualcuno ne conosce una dimostrazione?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[ciampax]

Mmmm... non mi torna: se $g(x)=x-x_1$ allora verrebbe fuori che
$$\frac{f(x)}{x-x_1}=\frac{f(x_1)}{x-x_1}$$
E mi pare un assurdo. Dove lo hai letto?

[gugo82]

Beh, non è difficile... Ma forse bisogna aggiungere qualche ipotesi sul numeratore.

Per ogni polinomio \(f\) con grado \( \[
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_1}{x-x_1} + \frac{A_2}{x-x_2} + \cdots + \frac{A_n}{x-x_n}
\]
da cui, moltiplicando m.a.m. per \(x-x_1\) e passando al limite per \(x\to x_1\) si trae:
\[
A_1= \lim_{x\to x_1} \frac{f(x)}{g(x)}\ (x-x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x)}{\frac{g(x) - g(x_1)}{x-x_1}} = \frac{f(x_1)}{g^\prime (x_1)}\; ;
\]
lo stesso procedimento vale per il calcolo di \(A_2,\ldots ,A_n\).

[DavideGenova1]

@ciampax: Ho trovato questa affermazione in un formularietto che sto leggendo per rinfrescare un po' le mie nozioni di analisi matematica, cercando di verificare le cose che i miei libri di analisi non riportano.
@gugo82: Abbi pazienza, mi sfugge il perché si ha\[\lim_{x\to x_1} \frac{f(x)}{g(x)}(x-x_1) = \lim_{x\to x_1} \frac{f(x)}{\frac{g(x) - g(x_1)}{x-x_1}} \]
$\infty$ grazie a tutti!!!

[ciampax]

$g(x_1)=0$ per cui
$$\frac{f(x)}{g(x)}(x-x_1)=\frac{f(x)}{g(x)-g(x_1)}\cdot\frac{1}{\frac{1}{x-x_1}}$$

[DavideGenova1]

Che rimbambito: trascuravo che $x_1$ (o $x_i$ in generale) è una radice di $g$! Devo dormire di più...
Grazie di cuore a tutti e due!!!!!