Decomposizione funzione integranda razionale
Ciao, ho questa funzione integranda: $1/(x^2(x^2+1)^2)$. Io la decomposizione l'ho impostata così:
$1/(x^2(x^2+1)^2)=A/x+B/x^2+(2Cx+D)/(x^2+1)+d/dx((Ex+F)/(x^2+1))$. Il problema è che tale decomposizione è diversa da quella impostata dal professore (quindi l'integrale indefinito non mi esce) ma non ho capito perchè la mia è sbagliata
$1/(x^2(x^2+1)^2)=A/x+B/x^2+(2Cx+D)/(x^2+1)+d/dx((Ex+F)/(x^2+1))$. Il problema è che tale decomposizione è diversa da quella impostata dal professore (quindi l'integrale indefinito non mi esce) ma non ho capito perchè la mia è sbagliata
Risposte
Eh, tanto chiasso per nulla. 
La funzione la spezzi facilmente, visto che
$\frac{(x^2+1)^2}{x^2}=\frac{x^4+1+2x^2}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2$
Quei tre addendi si integrano banalmente.
La funzione la spezzi facilmente, visto che
$\frac{(x^2+1)^2}{x^2}=\frac{x^4+1+2x^2}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2$
Quei tre addendi si integrano banalmente.
ciao, ho sbagliato a scrivere, al numeratore c'è uno e al denominatore tutta quella roba
qualcuno può aiutarmi:)?
Tutto il denominatore è elevato alla seconda?
ciao, scusa ho fatto un casino, c'è $x^2$ e poi il quadrato del binomio...
ho corretto il post
ho corretto il post
Non vorrei dire cavolate, ma dovrebbe essere:
$A/x+B/x^2+(Cx+D)/(x^2+1)+(Ex+F)/(x^2+1)^2$
$A/x+B/x^2+(Cx+D)/(x^2+1)+(Ex+F)/(x^2+1)^2$
il libro alcuni esempi li risolveva in quel modo...non ho capito, ho un pò di confusione
«Non vorrei dire cavolate» ma stavolta mi sa che la dico sul serio: il denominatore è di sesto grado, quindi a numeratore possono comparire fino a quinte potenze della $x$.
A pelle fari una cosa del genere:
[tex]\displaystyle \frac{1}{x^2(x^2+1)^2} = \frac{Ax + B}{x^2} + \frac{Cx^3 + Dx^2 + Ex + F}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
Ma non sono sicuro al 100% che funzioni. [Ma al 90% sì!].
Aggiungo che ci possono essere più varianti di questa soluzione, aggiungendo ad esempio i termini con i denominatori a diversi gradi, cioè una cosa del tipo [tex]\displaystyle \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2}[/tex] ed idem con l'altro fattore, ma si fa per non avere un'identità quando il denominatore è un fattore unico, mentre in questo caso non dovrebbe essere necessario. Se lo provi, comunque, dovrebbe venirti ugualmente.
Passando al puro intuito, oserei dire che dovrebbe venire anche scrivendolo come
[tex]\displaystyle \frac{1}{(x^3+x)^2} = \frac{Ax^2 + Bx + C}{x^3 + x} + \frac{Dx^5 + Ex^4 + Fx^3 + Gx^2 +Hx +I}{(x^3 + x)^2}[/tex]
Scusate questo delirio
A pelle fari una cosa del genere:
[tex]\displaystyle \frac{1}{x^2(x^2+1)^2} = \frac{Ax + B}{x^2} + \frac{Cx^3 + Dx^2 + Ex + F}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
Ma non sono sicuro al 100% che funzioni. [Ma al 90% sì!].
Aggiungo che ci possono essere più varianti di questa soluzione, aggiungendo ad esempio i termini con i denominatori a diversi gradi, cioè una cosa del tipo [tex]\displaystyle \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2}[/tex] ed idem con l'altro fattore, ma si fa per non avere un'identità quando il denominatore è un fattore unico, mentre in questo caso non dovrebbe essere necessario. Se lo provi, comunque, dovrebbe venirti ugualmente.
Passando al puro intuito, oserei dire che dovrebbe venire anche scrivendolo come
[tex]\displaystyle \frac{1}{(x^3+x)^2} = \frac{Ax^2 + Bx + C}{x^3 + x} + \frac{Dx^5 + Ex^4 + Fx^3 + Gx^2 +Hx +I}{(x^3 + x)^2}[/tex]
Scusate questo delirio
Raptorista, diciamo che non hai detto una cavolata, però quello che fai è una complicazione inutile. Prova a effetturae le divisioni al primo addendo: ottieni
[tex]$\frac{Ax+B}{x^2}=\frac{Ax}{x^2}+\frac{B}{x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}$[/tex]
Questo dovrebbe suggerire la seguente semplice regola: se al denominatore ho un polinomio della forma [tex]$(ax^2+bx+c)^n$[/tex] con il polinomio di secondo grado irrudicibile (che equivale a dire [tex]$b^2-4ac<0$[/tex]) allora posso decomporre al modo seguente:
[tex]$\frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)^n}=\sum_{k=1}^n\frac{A_k x+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}$[/tex]
essendo [tex]$P(x)$[/tex] un qualsiasi polinomio di grado minore di $2n$. Provare per credere.
[tex]$\frac{Ax+B}{x^2}=\frac{Ax}{x^2}+\frac{B}{x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}$[/tex]
Questo dovrebbe suggerire la seguente semplice regola: se al denominatore ho un polinomio della forma [tex]$(ax^2+bx+c)^n$[/tex] con il polinomio di secondo grado irrudicibile (che equivale a dire [tex]$b^2-4ac<0$[/tex]) allora posso decomporre al modo seguente:
[tex]$\frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)^n}=\sum_{k=1}^n\frac{A_k x+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}$[/tex]
essendo [tex]$P(x)$[/tex] un qualsiasi polinomio di grado minore di $2n$. Provare per credere.
@ciampax: sulla prima espressione hai pienamente ragione, sono andato a macchinetta senza notare che si poteva semplificare; sulla seconda però non sono d'accordo che sia sempre più comoda: infatti scrivere al posto di
[tex]\displaystyle \frac{Cx^3 + Dx^2 + Ex + F}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
l'equazione
[tex]\displaystyle \frac{Cx + Dx}{x^2 +1} + \frac{Ex + F}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
porterà sì allo stesso risultato, ma dopo un numero maggiore di conti, perché quando poi si fa il denominatore comune nella seconda ci si riconduce ad una forma simile alla prima, ma con più incognite [inteso che compaiono un numero maggiore di volte, non un insieme maggiore di simboli], e quindi il sistema che ne risulta è [leggermente] più complesso. IMHO .D
[tex]\displaystyle \frac{Cx^3 + Dx^2 + Ex + F}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
l'equazione
[tex]\displaystyle \frac{Cx + Dx}{x^2 +1} + \frac{Ex + F}{(x^2 + 1)^2}[/tex]
porterà sì allo stesso risultato, ma dopo un numero maggiore di conti, perché quando poi si fa il denominatore comune nella seconda ci si riconduce ad una forma simile alla prima, ma con più incognite [inteso che compaiono un numero maggiore di volte, non un insieme maggiore di simboli], e quindi il sistema che ne risulta è [leggermente] più complesso. IMHO .D
Raptorista, secondo me, se tu la scrivi così la frazione, inevitabilmente per poter integrare continuerai a dividere e ti ricondurrai alla forma che dico io. Quindi perché fare il doppio del lavoro? 
Prova a farlo in questo caso e dimmi se non ho ragione!
Prova a farlo in questo caso e dimmi se non ho ragione!
Devo ammettere che non avevo pensato a quello che dici, e mi tocca riconoscere che hai ragione tutte le volte che i coefficienti dei gradi maggiori di uno non sono nulli, e quindi in generale è corretto il tuo procedimento, che è lo stesso proposto da Lorin qualche post più su.
O meglio dovrei dire che il vostro è migliore in quanto il mio, seppur più sconveniente, rimane pur sempre giusto
O meglio dovrei dire che il vostro è migliore in quanto il mio, seppur più sconveniente, rimane pur sempre giusto
Ma infatti io mica ho detto che il tuo è errato. Dico solo che, alla fin fine, ti riduci a quella decomposizione che ho scritto io, volente o nolente. 
Si infatti, ma è sempre bello potersi confrontare!
Vabbè, insomma, qualcuno mi può dire qual è il procedimento esatto? Un libro dice una cosa, un altro un'altra, un altro ancora non lo considera proprio questo caso, voi utenti avete opinioni diverse...e io sono più confuso di prima 
. Io sono d'accordo con quanto dice Lorin all'inizio, però ci sono molte cose che non mi sono chiare.
Per esempio perchè la funzione $x/((x+1)(x^2+1)$ viene decomposta così?
$x/((x+1)(x^2+1))=A/(x+1)+(2Bx+c)/(x^2+1)$. Perchè c'è quel 2 al secondo numeratore? Non dovrebbe essere solo $Bx+c$?
Grazie per l'aiuto
. Io sono d'accordo con quanto dice Lorin all'inizio, però ci sono molte cose che non mi sono chiare.Per esempio perchè la funzione $x/((x+1)(x^2+1)$ viene decomposta così?
$x/((x+1)(x^2+1))=A/(x+1)+(2Bx+c)/(x^2+1)$. Perchè c'è quel 2 al secondo numeratore? Non dovrebbe essere solo $Bx+c$?
Grazie per l'aiuto
Soscia, se non lo hai capito, dopo che l'ho scritto per bene e che Raptorista m'ha pure dato ragione, stai messo male!
"ciampax":
Soscia, se non lo hai capito, dopo che l'ho scritto per bene e che Raptorista m'ha pure dato ragione, stai messo male!
è quello che diceva lorin
ho corretto la formula di prima
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