Decomposizione di Hahn

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Studiando la seguente dimostrazione del teorema di decomposizione di Hahn (da A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale) non riesco proprio a capire perché $F_0$ sia negativo (come da definizione sopra il teorema):

L'originale russo è identico e la traduzione inglese aggiunge solo think things through, incitamento che non granché effetto sulla mia capacità di comprendere tale passaggio .
Qualcuno comprende perché $F_0$ è negativo?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[_fabricius_1]

Se ho ben capito, poiché $\forall i\ge 1 :\Phi (C_i)>0 $, si ha, posto $ C := \uuu_{i=1}^{\infty}C_i$ ove l'unione è disgiunta, che $\Phi(C)=\sum \Phi(C_i)>0$.
Poiché $C_0=F_0 \cup C$ ove l'unione è disgiunta, se per assurdo $\Phi(F_0)\ge 0$ si avrebbe pure $\Phi(C_0)>0$.
Ha senso?

[DavideGenova1]

Grazie, Fabricius!!! Quello che dici lo capisco, ma per verificare che $F_0$ sia negativo bisogna dimostrare che per tutti gli \( F\in\mathfrak{S}\) si ha \(\Phi(F_0\cap F)\leq 0\) e questo non mi balza agli occhi nonostante I have been thinking things through da due giorni...

[_fabricius_1]

Già, hai perfettamente ragione.

Non so se è rilevante ma cosa si intende con "esiste un intero più piccolo $k_1$"? Più piccolo di cosa?
E perché $k_2 \ge k_1$?

[DavideGenova1]

"_fabricius_":cosa si intende con "esiste un intero più piccolo $k_1$"? Più piccolo di cosa? E perché $k_2 \ge k_1$?

Dato che $C_0$ non è negativo esiste un $F_1\in\mathfrak{S}$ tale che \(\Phi(C_0\cap F_1)>0\). Sia \(C_1:=C_0\cap F_1\). Direi che "esiste un intero più piccolo $k_1$" significa che esiste \( k_1:=\min\{k\in\mathbb{N}^+:\Phi(C_1)\geq1/k\}\). Ora, \(C_0\setminus C_1\) non può essere negativo altrimenti, unito ad $A^-$, produrrebbe un insieme di carica $0\). Sia \(C_2:=(C_0\setminus C_1)\cap F_2\) e sia \( k_2':=\min\{k\in\mathbb{N}^+:\Phi(C_2)\geq1/k\}\). Quindi \(\Phi(C_2)\geq1/k_{2}'\) e anche, scelto un \(k_2\geq\max\{k_1,k_2'\}\), \(\Phi(C_2)\geq1/k_{2}\). Analogamente si procede per ogni $n>2$. Spero di non dire cavolate.

[_fabricius_1]

Rileggendo per l'ennesima volta la dimostrazione ho avuto l'illuminazione:
$ k_1=\min \{ n\in \mathbb{N} | \exists C_1\subset C_0 \mbox{ t.c. } \Phi (C_1) \ge \frac{1}{n} \} $.