Decomposizione di funzione razionale
Ciao ragazzi devo decomporre questa funzione razionale:
$((y^2+1)^2)/(2y^2(y^2-1))$
Siccomme il grado al numeratore e il grado al denominatore coincidono ho pensato di operare una divisione di polinomi, ma il metodo che ho utilizzato mi sembra essere diverso da quello scelto dal professore e anche il mio risultato è ovviamente diverso.
Il risultato deve dare:
$1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)$
Che logica è stata seguita? Grazie
$((y^2+1)^2)/(2y^2(y^2-1))$
Siccomme il grado al numeratore e il grado al denominatore coincidono ho pensato di operare una divisione di polinomi, ma il metodo che ho utilizzato mi sembra essere diverso da quello scelto dal professore e anche il mio risultato è ovviamente diverso.
Il risultato deve dare:
$1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)$
Che logica è stata seguita? Grazie
Risposte
Perché ti importa la logica seguita da altri?
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.
In parole povere, mostra i tuoi calcoli.
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.
In parole povere, mostra i tuoi calcoli.
"gugo82":
Perché ti importa la logica seguita da altri?
Sei tu a dover svolgere l'esercizio, non gli altri... Quindi dovresti focalizzarti sulla tua logica e sui suoi eventuali errori.
In parole povere, mostra i tuoi calcoli.
$Quoziente: 1/2$
$Resto: 3y^2+1$
Unendoli quindi:
$1/2+(3y^2+1)/((2y^2)(y^2-1))$
E basta?
Sai cos'è una scomposizione in fratti semplici?
Ti pare una scomposizione in fratti semplici quella che hai ottenuto?
Sai cos'è una scomposizione in fratti semplici?
Ti pare una scomposizione in fratti semplici quella che hai ottenuto?
Appunto che non lo è, sto chiedendo aiuto per quello pechè solo la divisione polinomiale non è sufficiente
Ah, quindi quello di cui hai bisogno per capire "che logica è stata seguita" è studiare il metodo di scomposizione in fratti semplici.
Vedi qui, par. 1.
Vedi qui, par. 1.
Ok sono riuscito a risolvere la decomposizione coi vari metodi.
Questa mi serviva poi per integrarla e ho trovato un problema anche qui.
$\int_{1+sqrt(3)}^{2+sqrt(5)} 1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)dy=$
$=[1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]=$
$={[sqrt(5)+1/(4+2sqrt(5))+log((2+sqrt(5)-1)/(2+sqrt(5)+1))]-[(1+sqrt(2))/2+1/(2+2sqrt(2))+log((sqrt(2))/(2+sqrt(2)))]}$
Il risultato dovrebbe invece essere:
$sqrt(5)-sqrt(2)+log(((sqrt(2)+1)(sqrt(5)-1))/2)$
Questa mi serviva poi per integrarla e ho trovato un problema anche qui.
$\int_{1+sqrt(3)}^{2+sqrt(5)} 1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1)dy=$
$=[1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]=$
$={[sqrt(5)+1/(4+2sqrt(5))+log((2+sqrt(5)-1)/(2+sqrt(5)+1))]-[(1+sqrt(2))/2+1/(2+2sqrt(2))+log((sqrt(2))/(2+sqrt(2)))]}$
Il risultato dovrebbe invece essere:
$sqrt(5)-sqrt(2)+log(((sqrt(2)+1)(sqrt(5)-1))/2)$
Ciao smule98,
Sei sicuro della correttezza degli estremi di integrazione? Quel $sqrt3 $ del primo estremo non è invece un $sqrt2$?
Prova così:
$ [1/2y+1/(2y)+log((y-1)/(y + 1))]_{1 + sqrt2}^{2 + sqrt5} $
Sei sicuro della correttezza degli estremi di integrazione? Quel $sqrt3 $ del primo estremo non è invece un $sqrt2$?
Prova così:
$ [1/2y+1/(2y)+log((y-1)/(y + 1))]_{1 + sqrt2}^{2 + sqrt5} $
Si scusami ho solo sbagliato nell'inserimento qui nel sito, nei calcoli vedi che poi ho usato il $sqrt(2)$
Ho già provato a proseguire così
Ho già provato a proseguire così
Tenendo presente le proprietà dei logaritmi e dopo un po' di razionalizzazioni a me invece torna proprio il risultato che hai riportato:
$\int_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} (1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1))\text{d}y = [1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} = $
$ = ... = \sqrt(5) - \sqrt(2) - log(\sqrt2) + log(2 + sqrt(2)) + log(1 + sqrt(5)) - log(3 + sqrt(5)) = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 2))/(\sqrt2(3 + sqrt(5)))] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 1))/((3 + sqrt(5)))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 + 1)(3 - \sqrt5))/((3 + sqrt(5))(3 - sqrt5))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(3\sqrt5 - 5 + 3 - \sqrt5))/4] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(2\sqrt5 - 2))/4] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 - 1))/2] $
$\int_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} (1/2-1/(2y^2)+1/(y-1)-1/(y+1))\text{d}y = [1/2y+1/(2y)+log(y-1)-log(y+1)]_{1+\sqrt(2)}^{2+\sqrt(5)} = $
$ = ... = \sqrt(5) - \sqrt(2) - log(\sqrt2) + log(2 + sqrt(2)) + log(1 + sqrt(5)) - log(3 + sqrt(5)) = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 2))/(\sqrt2(3 + sqrt(5)))] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt5 + 1)(\sqrt2 + 1))/((3 + sqrt(5)))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 + 1)(3 - \sqrt5))/((3 + sqrt(5))(3 - sqrt5))] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(3\sqrt5 - 5 + 3 - \sqrt5))/4] = $
$ = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(2\sqrt5 - 2))/4] = \sqrt(5) - \sqrt(2) + log[((\sqrt2 + 1)(\sqrt5 - 1))/2] $
A me manca proprio da trovare quel $sqrt(5)-sqrt(2)$ che hai trovato all'inizio
Beh, sono sempre razionalizzazioni:
$ (2+\sqrt(5))/2+1/(2\sqrt5 + 4) - (1 + \sqrt2)/2 - 1/(2\sqrt2 + 2) = 1 + \sqrt5/2 + (2\sqrt5 - 4)/4 - 1/2 - \sqrt2/2 - (2 \sqrt2 - 2)/4 = $
$ = 1 + \sqrt5/2 + \sqrt5/2 - 1 - 1/2 - \sqrt2/2 - \sqrt2/2 + 1/2 = \sqrt5 - \sqrt2 $
$ (2+\sqrt(5))/2+1/(2\sqrt5 + 4) - (1 + \sqrt2)/2 - 1/(2\sqrt2 + 2) = 1 + \sqrt5/2 + (2\sqrt5 - 4)/4 - 1/2 - \sqrt2/2 - (2 \sqrt2 - 2)/4 = $
$ = 1 + \sqrt5/2 + \sqrt5/2 - 1 - 1/2 - \sqrt2/2 - \sqrt2/2 + 1/2 = \sqrt5 - \sqrt2 $
Molto chiaro grazie mille
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