Decomposizione di f in f+ e f-
Buonasera ragazzi,
mi sapete fornire, per cortesia, una dimostrazione sulla decomposizione di f in f+ e f- (relativa agli integrali)? Perchè il prof l'ha messo nelle dimostrazioni dei teoremi da sapere per effettuare l'orale di analisi ma, essendo uno studente lavoratore, non ero presente e nel libro non la trovo
Grazie a tutti
mi sapete fornire, per cortesia, una dimostrazione sulla decomposizione di f in f+ e f- (relativa agli integrali)? Perchè il prof l'ha messo nelle dimostrazioni dei teoremi da sapere per effettuare l'orale di analisi ma, essendo uno studente lavoratore, non ero presente e nel libro non la trovo
Grazie a tutti
Risposte
Posta un link al programma del professore, perché non capisco di che teorema parli.
Per definizione \[f^+ (x) = \text{max}(f(x), 0), \quad f^- (x) = \text{max}(-f(x),0)\]nota che entrambe sono funzioni positive. Prova a disegnare il grafico di \(\sin^+ (x)\) e quello di \(\sin^- (x)\). Dovresti convincerti facilmente che \[f(x) = f^+ (x) - f^- (x), \quad \left | f (x) \right | = f^+ (x) + f^- (x)\]per la linearità dell'integrale (ti è nota?) \[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f^+ (x) dx - \int_a^b f^- (x) dx, \quad \int_a^b \left | f (x) \right | dx = \int_a^b f^+ (x) dx + \int_a^b f^- (x) dx\]
"Epimenide93":
Per definizione \[f^+ (x) = \text{max}(f(x), 0), \quad f^- (x) = \text{max}(-f(x),0)\]nota che entrambe sono funzioni positive. Prova a disegnare il grafico di \(\sin^+ (x)\) e quello di \(\sin^- (x)\). Dovresti convincerti facilmente che \[f(x) = f^+ (x) - f^- (x), \quad \left | f (x) \right | = f^+ (x) + f^- (x)\]per la linearità dell'integrale (ti è nota?) \[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f^+ (x) dx - \int_a^b f^- (x) dx, \quad \int_a^b \left | f (x) \right | dx = \int_a^b f^+ (x) dx + \int_a^b f^- (x) dx\]
Si si, ora ho capito cosa intendeva.
Ma posso concludere anche con $ |int_(a)^(b) f(x) dx| <= int_(a)^(b) |f(x)| dx $ questo $ AA b >= a $ ?
"Sossella":
Si si, ora ho capito cosa intendeva.
Ma posso concludere anche con $ |int_(a)^(b) f(x) dx| <= int_(a)^(b) |f(x)| dx $ questo $ AA b >= a $ ?
Beh, sì, passare per questa "decomposizione" è uno dei modi per dimostrare quella disuguaglianza. Prova a scrivere esplicitamente la dimostrazione.
L'integrale improprio di 2° specie $ int_(a)^(b) f(x) dx $ si dirà assolutamente integrabile se
$ int_(a)^(b) |f(x)| dx $ convergente -> $ int_(a)^(b) f(x) dx $ convergente
Se $ |f(x)| $ è integrabile in $ [a,b] $, allora $ f(x) $ sarà assolutamente convergente in $ [a,b] $
Dimostrazione
Scompongo $ f(x) $ in $f_(+)(x)=max(f(x),0)$ = parte positiva di f e $f_(-)(x)=max(-f(x),0)$ = parte negativa di f
Entrambe le scomposizioni sono positive $ 0<=f_(+)(x) $ e $ f_(-)(x)<= |f(x)| $ quindi $ |f(x)| = f_(+)(x)+f_(-)(x) $
Per il teorema del confronto $ f_(+)(x) $ e $ f_(-)(x) $ sono integrabili in senso generalizzato, allora anche $f$ è integrabile in senso generalizzato infatti, utilizzando la proprietà della linearità dell'integrale in $[a,b]$,
$ int_(a)^(b) f(x)dx=int_(a)^(b)f_(+)(x) dx - int_(a)^(b)f_(-)(x) dx$ ma abbiamo $ |f(x)| = f_(+)(x)+f_(-)(x) $ perciò:
$ int_(a)^(b) |f(x)|dx=int_(a)^(b)f_(+)(x) dx + int_(a)^(b)f_(-)(x) dx $
Quindi:
$ |int_(a)^(b) f(x) dx| <= int_(a)^(b) |f(x)| dx $ $AA b>=a $
La stessa dimostrazione vale per un integrale improprio di 1° specie, basta sostituire b con x e passare al limite per $ x rarr oo $
$ int_(a)^(b) |f(x)| dx $ convergente -> $ int_(a)^(b) f(x) dx $ convergente
Se $ |f(x)| $ è integrabile in $ [a,b] $, allora $ f(x) $ sarà assolutamente convergente in $ [a,b] $
Dimostrazione
Scompongo $ f(x) $ in $f_(+)(x)=max(f(x),0)$ = parte positiva di f e $f_(-)(x)=max(-f(x),0)$ = parte negativa di f
Entrambe le scomposizioni sono positive $ 0<=f_(+)(x) $ e $ f_(-)(x)<= |f(x)| $ quindi $ |f(x)| = f_(+)(x)+f_(-)(x) $
Per il teorema del confronto $ f_(+)(x) $ e $ f_(-)(x) $ sono integrabili in senso generalizzato, allora anche $f$ è integrabile in senso generalizzato infatti, utilizzando la proprietà della linearità dell'integrale in $[a,b]$,
$ int_(a)^(b) f(x)dx=int_(a)^(b)f_(+)(x) dx - int_(a)^(b)f_(-)(x) dx$ ma abbiamo $ |f(x)| = f_(+)(x)+f_(-)(x) $ perciò:
$ int_(a)^(b) |f(x)|dx=int_(a)^(b)f_(+)(x) dx + int_(a)^(b)f_(-)(x) dx $
Quindi:
$ |int_(a)^(b) f(x) dx| <= int_(a)^(b) |f(x)| dx $ $AA b>=a $
La stessa dimostrazione vale per un integrale improprio di 1° specie, basta sostituire b con x e passare al limite per $ x rarr oo $
Ciao ragazzi, volevo chiedervi:
1) se la dimostrazione che ho proposto è corretta.
2) se tale dimostrazione coincide con: se l'integrale converge assolutamente, allora converge semplicemente.
Grazie a tutti
1) se la dimostrazione che ho proposto è corretta.
2) se tale dimostrazione coincide con: se l'integrale converge assolutamente, allora converge semplicemente.
Grazie a tutti
Scusa se mi son dimenticato di rispondere, ultimamente sono stato impegnato, e mi è passato di mente!
Comunque sì, la dimostrazione mi sembra corretta, anche se non capisco perché la proponi per integrali impropri.
Comunque sì, la dimostrazione mi sembra corretta, anche se non capisco perché la proponi per integrali impropri.
"Epimenide93":
Comunque sì, la dimostrazione mi sembra corretta, anche se non capisco perché la proponi per integrali impropri.
Perchè me lo chiede il prof come dimostrazione
"Epimenide93":
Scusa se mi son dimenticato di rispondere, ultimamente sono stato impegnato, e mi è passato di mente!
Comunque non ti preoccupare, sei stato gentilissimo ad aiutarmi
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