Decomporre una funzione.
Premessa: il prof. di Algebra conviene che il prodotto o composizione di $g$ ed $f$ si denota con $g \circ f$ e l'assegnazione è la seguente: $(g \circ f)(x)=g(f(x))$
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Si provi che ogni applicazione $f : A to B$ si può esprimere come prodotto (o, il che è lo stesso, composizione) di un'applicazione suriettiva e di un'applicazione iniettiva
Prova
Sia $g : C to B$ un'applicazione suriettiva e sia $h : A to C$ un'applicazione iniettiva: si vuole provare che $f = g \circ h$.
Basta prendere un insieme $C$ tale che sia $A \subseteq C$ e definire $h$ come l'immersione di $A$ in $C$: in tal modo $h$ è iniettiva; basta poi definire l'assegnazione di $g$ come $g(x)=f(x), \forall x \in A \cap C$ e $g(x)=y \in B$ con $y$ qualunque se è $x \in C - A$.
A questo punto risulta $(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x)=f(x)$ per le $x$ di $A$, che è quanto si voleva.
Ora vi chiedo due cose:
1) ci sono errori nella prova che ho dato?
2) mi è venuto per la testa di vedere se si poteva esprimere una qualunque applicazione come la composizione di una applicazione iniettiva e di una suriettiva e anche quì ho fatto una prova che non mi convince per due motivi: a) perché l'ho fatta io; b) perché non mi convince il fatto che sia possibile decomporre una funzione in questo modo.
Mi spiego meglio: se $g : C to B$ è iniettiva e $h : A to C$ è suriettiva allora è $f = g \circ h$; in pratica una composizione analoga a quella di sopra ma con l'utilizzo prima di quella suriettiva e poi di quella iniettiva.
Dimostro: bisogna prendere una $g$ iniettiva e una $h$ suriettiva; allora basta prendere come $h$ la funzione che ha dominio $A$ e codominio $f(A)$ con assegnazione $h(x)=f(x), \forall x \in A$, cioè $h : A to C=f(A), \ \ x \in A to h(x)=f(x)$. Fatto questo, $f(A) \subseteq B$ è ovviamente vero, quindi basta prendere come $g$ l'immersione di $f(A)$ in $B$ che è ovviamente iniettiva. A questo punto risulta $(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(f(x))=f(x)$ per le $x$ di $A$, che è quanto si voleva.
Ma anche quì sento che ci sono degli errori. Ci sono errori in questa prova? E ha senso quello che ho provato: è possibile?
Le mie risposte:
1) sì, ci sono errori.
2) ha senso quello che ho provato ma anche quì ci sono errori.
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Si provi che ogni applicazione $f : A to B$ si può esprimere come prodotto (o, il che è lo stesso, composizione) di un'applicazione suriettiva e di un'applicazione iniettiva
Prova
Sia $g : C to B$ un'applicazione suriettiva e sia $h : A to C$ un'applicazione iniettiva: si vuole provare che $f = g \circ h$.
Basta prendere un insieme $C$ tale che sia $A \subseteq C$ e definire $h$ come l'immersione di $A$ in $C$: in tal modo $h$ è iniettiva; basta poi definire l'assegnazione di $g$ come $g(x)=f(x), \forall x \in A \cap C$ e $g(x)=y \in B$ con $y$ qualunque se è $x \in C - A$.
A questo punto risulta $(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x)=f(x)$ per le $x$ di $A$, che è quanto si voleva.
Ora vi chiedo due cose:
1) ci sono errori nella prova che ho dato?
2) mi è venuto per la testa di vedere se si poteva esprimere una qualunque applicazione come la composizione di una applicazione iniettiva e di una suriettiva e anche quì ho fatto una prova che non mi convince per due motivi: a) perché l'ho fatta io; b) perché non mi convince il fatto che sia possibile decomporre una funzione in questo modo.
Mi spiego meglio: se $g : C to B$ è iniettiva e $h : A to C$ è suriettiva allora è $f = g \circ h$; in pratica una composizione analoga a quella di sopra ma con l'utilizzo prima di quella suriettiva e poi di quella iniettiva.
Dimostro: bisogna prendere una $g$ iniettiva e una $h$ suriettiva; allora basta prendere come $h$ la funzione che ha dominio $A$ e codominio $f(A)$ con assegnazione $h(x)=f(x), \forall x \in A$, cioè $h : A to C=f(A), \ \ x \in A to h(x)=f(x)$. Fatto questo, $f(A) \subseteq B$ è ovviamente vero, quindi basta prendere come $g$ l'immersione di $f(A)$ in $B$ che è ovviamente iniettiva. A questo punto risulta $(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(f(x))=f(x)$ per le $x$ di $A$, che è quanto si voleva.
Ma anche quì sento che ci sono degli errori. Ci sono errori in questa prova? E ha senso quello che ho provato: è possibile?
Le mie risposte:
1) sì, ci sono errori.
2) ha senso quello che ho provato ma anche quì ci sono errori.
Risposte
"WiZaRd":
Premessa: il prof. di Algebra conviene che il prodotto o composizione di $g$ ed $f$ si denota con $g \circ f$ e l'assegnazione è la seguente: $(g \circ f)(x)=g(f(x))$
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Si provi che ogni applicazione $f : A to B$ si può esprimere come prodotto (o, il che è lo stesso, composizione) di un'applicazione suriettiva e di un'applicazione iniettiva
Secondo me il professore vuole una scomposizione col fattore interno $h$ suriettivo e col fattore esterno $g$ iniettivo.
La scomposizione trovata da te in 2) è buona, però puoi procedere anche in altri modi: ad esempio puoi introdurre in $A$ la relazione d'equivalenza indotta da $f$ ($x,yin A,quad x\sim y " se e solo se " f(x)=f(y)$), prendere $h$ coincidente con la proiezione canonica di $A$ su $A/\sim$ e definire $g$ con l'assegnazione $AA barx in A/\sim,quad g(barx)=f(x)$ (che è ben posta perchè non dipende dal rappresentante della classe d'equivalenza $barx$); $h$ è ovviamente suriettiva, $g$ è facile da provare iniettiva e si ha evidentemente $f=g\circ h$.
"WiZaRd":
Ora vi chiedo due cose:
[...]
2) mi è venuto per la testa di vedere se si poteva esprimere una qualunque applicazione come la composizione di una applicazione iniettiva e di una suriettiva e anche quì ho fatto una prova che non mi convince per due motivi: a) perché l'ho fatta io; b) perché non mi convince il fatto che sia possibile decomporre una funzione in questo modo.
WiZard, per favore, non dubitare così della bontà delle tue idee...
P.S.: Chi è il tuo prof. di Algebra? Giordano o De Giovanni?
"WiZaRd":
mi è venuto per la testa di vedere se si poteva esprimere una qualunque applicazione come la composizione di una applicazione iniettiva e di una suriettiva
Questo è falso in quanto la composta di un'applicazione iniettiva e di una suriettiva è ovviamente suriettiva... Quanto alla prima dimostrazione, mi spiace dirlo, ma non va!
@gugo82
Grazie per la collaborazione; della prima dim. cosa mi dici? Il mio prof. di algebra è Giordano.
@Sandokan.
Questo è falso in quanto la composta di un'applicazione iniettiva e di una suriettiva è ovviamente suriettiva... Quanto alla prima dimostrazione, mi spiace dirlo, ma non va![/quote]
Non capisco perché la composta di una iniettiva con una suriettiva sia suriettiva.
Ho cotruito questa composizione usando prima la suriettiva e poi l'iniettiva, ma non mi pare che la composta sia suriettiva:
ho provato anche al contrario ma manco capisco perché: questa l'ho costruita usando prima la iniettiva e poi la suriettiva ma non mi pare che la composta sia suriettiva
cos'è che mi sfugge?
Grazie per la collaborazione; della prima dim. cosa mi dici? Il mio prof. di algebra è Giordano.
@Sandokan.
"Sandokan.":
[quote="WiZaRd"]mi è venuto per la testa di vedere se si poteva esprimere una qualunque applicazione come la composizione di una applicazione iniettiva e di una suriettiva
Questo è falso in quanto la composta di un'applicazione iniettiva e di una suriettiva è ovviamente suriettiva... Quanto alla prima dimostrazione, mi spiace dirlo, ma non va![/quote]
Non capisco perché la composta di una iniettiva con una suriettiva sia suriettiva.
Ho cotruito questa composizione usando prima la suriettiva e poi l'iniettiva, ma non mi pare che la composta sia suriettiva:
ho provato anche al contrario ma manco capisco perché: questa l'ho costruita usando prima la iniettiva e poi la suriettiva ma non mi pare che la composta sia suriettiva
cos'è che mi sfugge?
Infatti ho sbagliato, scusami. E' vero invece che se $g \circ f$ è suriettiva, tale è anche $g$, sicché non ogni funzione può decomporsi in un prodotto $g \circ f$, con $f$ suriettiva e $g$ iniettiva.
Figurati.
Quanto alla prima dim. perché non va bene? Forse perché se si desse il caso che $A=C$ allora l'immersione diventerebbe un qualche cosa di più di una semplice immersione passando ad essere una biiezione e questo significherebbe comporre due applicazioni suriettive che darebbero luogo ad una applicazione senz'altro suriettiva?
In altri termini, se nella dim.1 pongo $A subset C$ la dim. in questione va bene?
Quanto alla prima dim. perché non va bene? Forse perché se si desse il caso che $A=C$ allora l'immersione diventerebbe un qualche cosa di più di una semplice immersione passando ad essere una biiezione e questo significherebbe comporre due applicazioni suriettive che darebbero luogo ad una applicazione senz'altro suriettiva?
In altri termini, se nella dim.1 pongo $A subset C$ la dim. in questione va bene?
Nella tua dim. la $g$ non sembra essere suriettiva...
N.B. Ho editato il post precedente, aggiungendo un'osservazione che può interessarti.
N.B. Ho editato il post precedente, aggiungendo un'osservazione che può interessarti.
"WiZaRd":
Si provi che ogni applicazione $f : A to B$ si può esprimere come prodotto (o, il che è lo stesso, composizione) di un'applicazione suriettiva e di un'applicazione iniettiva
Prova
Sia $g : C to B$ un'applicazione suriettiva e sia $h : A to C$ un'applicazione iniettiva: si vuole provare che $f = g \circ h$.
Basta prendere un insieme $C$ tale che sia $A \subseteq C$ e definire $h$ come l'immersione di $A$ in $C$: in tal modo $h$ è iniettiva; basta poi definire l'assegnazione di $g$ come $g(x)=f(x), \forall x \in A \cap C$ e $g(x)=y \in B$ con $y$ qualunque se è $x \in C - A$.
A questo punto risulta $(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x)=f(x)$ per le $x$ di $A$, che è quanto si voleva.
Ora vi chiedo due cose:
1) ci sono errori nella prova che ho dato?
WiZaRd, lo sai che ti voglio bene perchè studi alla mia stessa facoltà (anzi, quando vengo a MSA potremmo vederci se ti va), però non puoi dire "prendiamo una suriezione $g:CtoB$", modificarne le assegnazioni in maniera arbitraria e poi non dimostrare che l'applicazione modificata è ancora suriettiva.
Per correttezza avresti dovuto dir così: siao $C$ un insieme contenente $A$ e $g:CtoB$ una suriezione tale che $AAx in Asubset C,quad g(x)=f(x)$. Il tuo teorema è quindi vero se dimostri che, per ogni $A$ ed $f$, un $C$ ed una $g$ con le proprietà suddette: qui c'è l'inghippo!
Le strade sono essenzialmente tre: o produci esplicitamente un $C$ ed una $g$ di quella guisa, oppure descrivi un metodo che consenta di costruirli, od ancora mostri che devono necessariamente esistere con un ragionamento per assurdo.
Finchè non mostri che esistono $C$ e $g$ la tua dimostrazione non funziona (perchè, in parole povere, non dimostra niente).
Credo che come prima cosa (per mia utilità, non certo perché ne avete bisogno voi) debba mettere un pochino d'ordine, ma proprio un pochino...
Date le funzioni $f : A to B$ e $g : B to C$ la funzione composta $g \circ f$ è così definita: $g \circ f : A to C, \ \ (g \circ f)(x) = g(f (x)), \forall x \in A$.
Sandokan dice:
Questa cosa mi è nuova, non lo sapevo: studio algebra dalle dispense del Prof. che non ci ha segnalato volumi da acquistare e né in queste dispense né tra gli appunti a lezione ho questo lemma.
Questa proprietà mi ha incuriosito e per analogia ho pensato allora che se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva. A questo punto la domanda che segue è ovviamente: "E' vero ?"
Provo a rispondere: "Sì". Per giustificare la risposta posto la dimostrazione dell'uno e dell'altro lemma.
$g \circ f$ suriettiva $=>$ $g$ suriettiva
Siano $f : A to B$ e $g : B to C$; si vuole provare che se $g \circ f : A to C$ è suriettiva, tale è anche $g$. Osserviamo preliminarmente che se $g \circ f$ è suriettiva allora $(g \circ f)(A) = C$, cioè $g(f(A))=C$. Detto ciò, procediamo per assurdo: sia $g$ non suriettiva. Certamente è $g(B) \subseteq C$ ma se è anche $g$ non suriettiva allora è $g(B) != C$, da cui discende che $g(B) \subset C$. Certamente è $f(A) \subseteq B$ e da questo discende che $g(f(A)) \subseteq g(B)$. Quindi risulta $g(f(A)) \subseteq g(B)$ e $g(B) \subset C$, da cui discende che $g(f(A)) \subset C$ il che è un assurdo, perché l'essere $g(f(A)) \subset C$ impedisce che sia $g(f(A)) = C$, contro l'ipotesi che $g \circ f$ è suriettiva.
$g \circ f$ iniettiva $=>$ $f$ iniettiva
Siano $f : A to B$ e $g : B to C$; si vuole provare che se $g \circ f : A to C$ è iniettiva, tale è anche $f$. Osserviamo preliminarmente che se $g \circ f$ è iniettiva allora $\forall x_1, x_2 \in A, (x_1 != x_2 => (g \circ f)(x_1) != (g \circ f)(x_2))$. Per assurdo, sia $f$ non iniettiva: significa che $\exists x_1, x_2 \in A : x_1 != x_2 \ \ \wedge \ \ f(x_1)=f(x_2)$. Per definizione di funzione si ha allora che $g(f(x_1))=g(f(x_2)) => (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ con $x_1 != x_2$, il che è un assurdo in quanto contrario all'ipotesi che $g \circ f$ è iniettiva.
Fatto ciò, torniamo al messaggio inizile del topic. Ho chiesto se è possibile decomporre una qualsiasi funzione $f$ nella composizione di una funzione iniettiva con una suriettiva; per non saper né leggere né scrivere ho diviso in due il problema:
a) Posso scrivere una qualunque $f$ come $g \circ h$ con $g$ iniettiva e $h$ suriettiva?
b) Posso scrivere una qualunque $f$ come $g \circ h$ con $g$ suriettiva e $h$ iniettiva?
Provo a rispondere:
a) Ho mal posto la domanda. Per motivare il fatto che la domanda è mal posta riparto da quanto detto da Sandokan:
Sandokan ha ovviamente ragione (e altrimenti non potrebbe essere): se si ammette che $f = g \circ h$ con $g$ iniettiva e $h$ suriettiva, e $f$ è suriettiva allora deve essere $g$ suriettiva, mentre stiamo supponendo che $g$ sia iniettiva. Ma l'iniettività non esclude la suriettività, quindi la domanda è mal posta perché nella forma in cui l'ho posta non ho posto condizioni sulla biiettività di $g$.
Mi spiego meglio.
Sia $\phi : A to B$ la funzione che vogliamo scomporre; sia questa una funzione qualunque; dimostriamo che è $\phi = \mathcal{i} \circ \phi_{su}$ dove $\phi_{su} : A to \mbox{ Im }(\phi)$ definita dall'assegnazione $\phi_{su}(x)=\phi(x), \forall x \in A$ è quella che io chiamo suriettivizzazione di $\phi$ e $\mathcal{i} : \mbox{ Im }(f) to B$ è l'immersione canonica di $\mbox{ Im }(f)$ in $B$. Ovviamente $\phi_{su}$ è suriettiva e $\mathcal{i}$ è iniettiva, quindi siamo nel caso della composizione $g \circ h$ con $g$ iniettiva e $h$ suriettiva. Mostriamo che $\phi= \mathcal{i} \circ \phi_{su}$.
Ovviamente per quanto riguarda il dominio e per il codominio della composta questi coincidono con quelli di $\phi$, inoltre $(\mathcal{i} \circ \phi_{su})(x)=\mathcal{i}(\phi_{su}(x))=\mathcal{i}(\phi(x))=\phi(x)$.
Fatto ciò il problema di non contraddire i lemmi non si pone, perché se $\phi=\mathcal{i}\circ \phi_{su}$ è suriettiva allora $\mathcal{i}$ deve essere suriettiva e tale ovviamente è perché essendo $\phi$ suriettiva risulta $\mbox{ Im }(\phi)=B$. Allo stesso modo, se è $\phi= \mathcal{i}\circ\phi_{su}$ iniettiva allora deve essere $\phi_{su}$ iniettiva e tale essa è essendo addirittura biiettiva (basta guardare il modo in cui è definita).
Se invece si chiede di scomporre $phi$ nel prodotto $g \circ h$ con $g$ iniettiva che non può essere anche suriettiva, allora, come ben detto da Sandokan., la risposta è un no.
b) Per rispondere riparto dalle sacrosantissime parole di gugo82:
WiZaRd, lo sai che ti voglio bene perchè studi alla mia stessa facoltà (anzi, quando vengo a MSA potremmo vederci se ti va), però non puoi dire "prendiamo una suriezione $g:CtoB$", modificarne le assegnazioni in maniera arbitraria e poi non dimostrare che l'applicazione modificata è ancora suriettiva.
Per correttezza avresti dovuto dir così: siao $C$ un insieme contenente $A$ e $g:CtoB$ una suriezione tale che $AAx in Asubset C,quad g(x)=f(x)$. Il tuo teorema è quindi vero se dimostri che, per ogni $A$ ed $f$, un $C$ ed una $g$ con le proprietà suddette: qui c'è l'inghippo!
Le strade sono essenzialmente tre: o produci esplicitamente un $C$ ed una $g$ di quella guisa, oppure descrivi un metodo che consenta di costruirli, od ancora mostri che devono necessariamente esistere con un ragionamento per assurdo.
Finchè non mostri che esistono $C$ e $g$ la tua dimostrazione non funziona (perchè, in parole povere, non dimostra niente).[/quote]
e caro compatriota mio ti devo dire che è da stamane che sto sbattendo la testa a destra e a sinistra senza riuscire a ricavare né una dimostrazione né una confutazione. Penso proprio che il Prof. in quell'esercizio chiedesse una scomposizione con fattore interno suriettivo ed esterno iniettivo, cosa che tra l'altro tu già avevi suggerito.
A sto punto vi chiedo un paio di cose:
1) la dim. di $g \circ f$ suriettiva $=>$ $g$ suriettiva è buona?
2) la dim. di $g \circ f$ iniettiva $=>$ $f$ iniettiva è buona?
3) quello che ho detto nella risposta a) è giusto (e, soprattutto, ha senso)?
4) quello che ho chiesto in b) sapete mica se è possibile o no?
5) mi consigliate un buon libro di algebra (possibilmente in italiano)?
Grazie e Buona Notte.
P.S.
Sarebbe un piacere.
Date le funzioni $f : A to B$ e $g : B to C$ la funzione composta $g \circ f$ è così definita: $g \circ f : A to C, \ \ (g \circ f)(x) = g(f (x)), \forall x \in A$.
Sandokan dice:
"Sandokan.":
E' vero invece che se $g \circ f$ è suriettiva, tale è anche $g$, sicché non ogni funzione può decomporsi in un prodotto $g \circ f$, con $f$ suriettiva e $g$ iniettiva.
Questa cosa mi è nuova, non lo sapevo: studio algebra dalle dispense del Prof. che non ci ha segnalato volumi da acquistare e né in queste dispense né tra gli appunti a lezione ho questo lemma.
Questa proprietà mi ha incuriosito e per analogia ho pensato allora che se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva. A questo punto la domanda che segue è ovviamente: "E' vero ?"
Provo a rispondere: "Sì". Per giustificare la risposta posto la dimostrazione dell'uno e dell'altro lemma.
$g \circ f$ suriettiva $=>$ $g$ suriettiva
Siano $f : A to B$ e $g : B to C$; si vuole provare che se $g \circ f : A to C$ è suriettiva, tale è anche $g$. Osserviamo preliminarmente che se $g \circ f$ è suriettiva allora $(g \circ f)(A) = C$, cioè $g(f(A))=C$. Detto ciò, procediamo per assurdo: sia $g$ non suriettiva. Certamente è $g(B) \subseteq C$ ma se è anche $g$ non suriettiva allora è $g(B) != C$, da cui discende che $g(B) \subset C$. Certamente è $f(A) \subseteq B$ e da questo discende che $g(f(A)) \subseteq g(B)$. Quindi risulta $g(f(A)) \subseteq g(B)$ e $g(B) \subset C$, da cui discende che $g(f(A)) \subset C$ il che è un assurdo, perché l'essere $g(f(A)) \subset C$ impedisce che sia $g(f(A)) = C$, contro l'ipotesi che $g \circ f$ è suriettiva.
$g \circ f$ iniettiva $=>$ $f$ iniettiva
Siano $f : A to B$ e $g : B to C$; si vuole provare che se $g \circ f : A to C$ è iniettiva, tale è anche $f$. Osserviamo preliminarmente che se $g \circ f$ è iniettiva allora $\forall x_1, x_2 \in A, (x_1 != x_2 => (g \circ f)(x_1) != (g \circ f)(x_2))$. Per assurdo, sia $f$ non iniettiva: significa che $\exists x_1, x_2 \in A : x_1 != x_2 \ \ \wedge \ \ f(x_1)=f(x_2)$. Per definizione di funzione si ha allora che $g(f(x_1))=g(f(x_2)) => (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ con $x_1 != x_2$, il che è un assurdo in quanto contrario all'ipotesi che $g \circ f$ è iniettiva.
Fatto ciò, torniamo al messaggio inizile del topic. Ho chiesto se è possibile decomporre una qualsiasi funzione $f$ nella composizione di una funzione iniettiva con una suriettiva; per non saper né leggere né scrivere ho diviso in due il problema:
a) Posso scrivere una qualunque $f$ come $g \circ h$ con $g$ iniettiva e $h$ suriettiva?
b) Posso scrivere una qualunque $f$ come $g \circ h$ con $g$ suriettiva e $h$ iniettiva?
Provo a rispondere:
a) Ho mal posto la domanda. Per motivare il fatto che la domanda è mal posta riparto da quanto detto da Sandokan:
"Sandokan.":
E' vero invece che se $g \circ f$ è suriettiva, tale è anche $g$, sicché non ogni funzione può decomporsi in un prodotto $g \circ f$, con $f$ suriettiva e $g$ iniettiva.
Sandokan ha ovviamente ragione (e altrimenti non potrebbe essere): se si ammette che $f = g \circ h$ con $g$ iniettiva e $h$ suriettiva, e $f$ è suriettiva allora deve essere $g$ suriettiva, mentre stiamo supponendo che $g$ sia iniettiva. Ma l'iniettività non esclude la suriettività, quindi la domanda è mal posta perché nella forma in cui l'ho posta non ho posto condizioni sulla biiettività di $g$.
Mi spiego meglio.
Sia $\phi : A to B$ la funzione che vogliamo scomporre; sia questa una funzione qualunque; dimostriamo che è $\phi = \mathcal{i} \circ \phi_{su}$ dove $\phi_{su} : A to \mbox{ Im }(\phi)$ definita dall'assegnazione $\phi_{su}(x)=\phi(x), \forall x \in A$ è quella che io chiamo suriettivizzazione di $\phi$ e $\mathcal{i} : \mbox{ Im }(f) to B$ è l'immersione canonica di $\mbox{ Im }(f)$ in $B$. Ovviamente $\phi_{su}$ è suriettiva e $\mathcal{i}$ è iniettiva, quindi siamo nel caso della composizione $g \circ h$ con $g$ iniettiva e $h$ suriettiva. Mostriamo che $\phi= \mathcal{i} \circ \phi_{su}$.
Ovviamente per quanto riguarda il dominio e per il codominio della composta questi coincidono con quelli di $\phi$, inoltre $(\mathcal{i} \circ \phi_{su})(x)=\mathcal{i}(\phi_{su}(x))=\mathcal{i}(\phi(x))=\phi(x)$.
Fatto ciò il problema di non contraddire i lemmi non si pone, perché se $\phi=\mathcal{i}\circ \phi_{su}$ è suriettiva allora $\mathcal{i}$ deve essere suriettiva e tale ovviamente è perché essendo $\phi$ suriettiva risulta $\mbox{ Im }(\phi)=B$. Allo stesso modo, se è $\phi= \mathcal{i}\circ\phi_{su}$ iniettiva allora deve essere $\phi_{su}$ iniettiva e tale essa è essendo addirittura biiettiva (basta guardare il modo in cui è definita).
Se invece si chiede di scomporre $phi$ nel prodotto $g \circ h$ con $g$ iniettiva che non può essere anche suriettiva, allora, come ben detto da Sandokan., la risposta è un no.
b) Per rispondere riparto dalle sacrosantissime parole di gugo82:
"gugo82":
[quote="WiZaRd"]Si provi che ogni applicazione $f : A to B$ si può esprimere come prodotto (o, il che è lo stesso, composizione) di un'applicazione suriettiva e di un'applicazione iniettiva
Prova
Sia $g : C to B$ un'applicazione suriettiva e sia $h : A to C$ un'applicazione iniettiva: si vuole provare che $f = g \circ h$.
Basta prendere un insieme $C$ tale che sia $A \subseteq C$ e definire $h$ come l'immersione di $A$ in $C$: in tal modo $h$ è iniettiva; basta poi definire l'assegnazione di $g$ come $g(x)=f(x), \forall x \in A \cap C$ e $g(x)=y \in B$ con $y$ qualunque se è $x \in C - A$.
A questo punto risulta $(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x)=f(x)$ per le $x$ di $A$, che è quanto si voleva.
Ora vi chiedo due cose:
1) ci sono errori nella prova che ho dato?
WiZaRd, lo sai che ti voglio bene perchè studi alla mia stessa facoltà (anzi, quando vengo a MSA potremmo vederci se ti va), però non puoi dire "prendiamo una suriezione $g:CtoB$", modificarne le assegnazioni in maniera arbitraria e poi non dimostrare che l'applicazione modificata è ancora suriettiva.
Per correttezza avresti dovuto dir così: siao $C$ un insieme contenente $A$ e $g:CtoB$ una suriezione tale che $AAx in Asubset C,quad g(x)=f(x)$. Il tuo teorema è quindi vero se dimostri che, per ogni $A$ ed $f$, un $C$ ed una $g$ con le proprietà suddette: qui c'è l'inghippo!
Le strade sono essenzialmente tre: o produci esplicitamente un $C$ ed una $g$ di quella guisa, oppure descrivi un metodo che consenta di costruirli, od ancora mostri che devono necessariamente esistere con un ragionamento per assurdo.
Finchè non mostri che esistono $C$ e $g$ la tua dimostrazione non funziona (perchè, in parole povere, non dimostra niente).[/quote]
e caro compatriota mio ti devo dire che è da stamane che sto sbattendo la testa a destra e a sinistra senza riuscire a ricavare né una dimostrazione né una confutazione. Penso proprio che il Prof. in quell'esercizio chiedesse una scomposizione con fattore interno suriettivo ed esterno iniettivo, cosa che tra l'altro tu già avevi suggerito.
A sto punto vi chiedo un paio di cose:
1) la dim. di $g \circ f$ suriettiva $=>$ $g$ suriettiva è buona?
2) la dim. di $g \circ f$ iniettiva $=>$ $f$ iniettiva è buona?
3) quello che ho detto nella risposta a) è giusto (e, soprattutto, ha senso)?
4) quello che ho chiesto in b) sapete mica se è possibile o no?
5) mi consigliate un buon libro di algebra (possibilmente in italiano)?
Grazie e Buona Notte.
P.S.
"gugo82":
...(anzi, quando vengo a MSA potremmo vederci se ti va)...
Sarebbe un piacere.
Mi sa che adesso le hai azzeccate tutte, caro MaGo. 
Per quanto riguarda un buon libro di Algebra da consigliarti, passo la mano a qualcun altro più esperto, giacché la materia mi piace poco ed ho studiato riferendomi solo al vecchio Appunti dalle Lezioni del nostro comune prof.
Ma non era meglio se cominciavi a preparare Analisi I?
(Quest'anno le lezioni le ha tenute De Arcangelis, a quanto mi han detto, e non ha avuto recensioni positive da parte degli studenti... eppure non è malvagio quando spiega Analisi Funzionale, mah!)
Per quanto riguarda un buon libro di Algebra da consigliarti, passo la mano a qualcun altro più esperto, giacché la materia mi piace poco ed ho studiato riferendomi solo al vecchio Appunti dalle Lezioni del nostro comune prof.
Ma non era meglio se cominciavi a preparare Analisi I?
(Quest'anno le lezioni le ha tenute De Arcangelis, a quanto mi han detto, e non ha avuto recensioni positive da parte degli studenti... eppure non è malvagio quando spiega Analisi Funzionale, mah!)
Ok. Grazie mille per il prezioso aiuto.
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