Debolmente compatto
ciao a tutti ho un pò di confusione riguardo alla definizione di insieme debolmente compatto.
vi spiego le mie ipotesi: ho $X$ uno spazio di banach e considero su $X$ la topologia debole allora vi chiedo se è vero che insiemi limitati sono debolmente compatti.
spero possiate aiutarmi.
vi spiego le mie ipotesi: ho $X$ uno spazio di banach e considero su $X$ la topologia debole allora vi chiedo se è vero che insiemi limitati sono debolmente compatti.
spero possiate aiutarmi.
Risposte
Se $X$ è rilfessivo i sottoinsiemi chiusi e limitati sono debolmente compatti, altrimenti in generale no.
ok d'accordo. ma esistono altre definizioni equivalenti di debolmente compatto?
Non si tratta di una definizione, è un teorema di analisi funzionale, per giunta non banale. La definizione di compattezza è la solita, e non cambia poichè la compattezza è una proprietà topologica: se $(X,\tau)$ è uno spazio topologico allora $K \subseteq X$ si dice compatto se ogni ricoprimento aperto di $K$ ammette un sottoricoprimento finito.
Nel caso in cui $X$ sia normato allora $K \subseteq X$ è debolmente compatto se è compatto nello spazio topologico $(X,\tau^w)$, essendo $\tau^w$ la topologia debole su $X$.
Nel caso in cui $X$ sia normato allora $K \subseteq X$ è debolmente compatto se è compatto nello spazio topologico $(X,\tau^w)$, essendo $\tau^w$ la topologia debole su $X$.
ok però sulle mie dispense c'è scritto così: per il teorema di banach-alaoglu ogni sottinsieme chiuso debolmente limitato è debolmente compatto
Appunto, e io cosa ho detto? che si tratta di un teorema di analisi funzionale, non di una definizione.
@miuemia
debole stella...
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