De l'hopital

[darkangel65]

premettendo che litigo perennemente con i limti, non sto riuscendo a risolvere questo.
il limite pe x--->0 $\frac{x^2}{logcosx}$
l'esercizio dice di risolverlo con de l'hopital....potreste aiutarmi???

[Gi81]

\[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{\log (\cos(x))}
\]

Qual è la derivata del numeratore? Qual è la derivata del denomiatore?

[darkangel65]

la derivata è
$ \frac{2x-x^2(-tgx)}{logcosx}$

[Gi81]

Che roba è?
Riformulo le domande:
[list=1][*:3djuqzon]Qual è la derivata di $x^2$?[/*:m:3djuqzon]
[*:3djuqzon]Qual è la derivata di $\log(\cos(x))$?[/*:m:3djuqzon][/list:o:3djuqzon]

[darkangel65]

ho sbagliato!!!! xkè ho fatto la derivata del rapporto ,non il rapporto delle derivate!
1. $2x$
2. $- tgx$

[Gi81]

Bene. Ora hai pertanto \[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{-\tan(x)}
\]
Quanto fa?

[darkangel65]

-2!!!
ahahahahah che stupidina!!!!! grazie mille!!! mi sei stato utilisssimo!!!!

[gugo82]

Ma anche senza il teorema del marchese il limite si risolve facile.
Ricordando i limiti notevoli, si ha:
\[
\ln (1+y) \approx y\; ,\qquad 1-\cos x \approx \frac{1}{2}\ x^2\; ,
\]
ergo:
\[
\ln \cos x = \ln [1+(\cos x-1)] \approx \cos x-1 \approx -\frac{1}{2}\ x^2
\]
e dunque:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{\ln \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{-\frac{1}{2}\ x^2} =-2\; .
\]

[darkangel65]

eh l'esercizo richiedeva di farlo con de l'hopital =) cmq è sempre bene imparare quante più cose possibili =) grazie!

[Gi81]

@gugo: perfettamente d'accordo con te. però

"darkangel65":... l'esercizio dice di risolverlo con de l'hopital....