Data una successione studiare la serie
per esempio data la successione :$\{(a_1= 1/2),(a_(n+1)= a_n - (a_n)^2):}$
studiare il carattere della serie$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n a_n$
come si passa dalla successione allo studio della serie a livello teorico c'è qualche cosa che dice come fare???
studiare il carattere della serie$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n a_n$
come si passa dalla successione allo studio della serie a livello teorico c'è qualche cosa che dice come fare???
Risposte
in generale, c'è parecchia teoria, ed io non sono la persona più adatta a ricordartela...
in questo caso particolare, vedi che il secondo elemento è uguale al primo, e così via, i termini della successione sono tutti uguali ad 1/2 ....
dunque la successione è limitata, la serie corrispondente ( $Sigma_(n=1)^(+oo)\a_n$ ) no, la serie proposta è a segni alterni...
se ti fermi ad un numero dispari di termini hai somma parziale -1/2, se ti fermi dopo un numero pari di termini hai somma parziale 0.
la serie, quindi, pur essendo limitata, non ammette limite. (un modo per vederlo potrebbe essere il criterio del rapporto: il rapporto tra due qualsiasi termini consecutivi è -1...). ciao.
in questo caso particolare, vedi che il secondo elemento è uguale al primo, e così via, i termini della successione sono tutti uguali ad 1/2 ....
dunque la successione è limitata, la serie corrispondente ( $Sigma_(n=1)^(+oo)\a_n$ ) no, la serie proposta è a segni alterni...
se ti fermi ad un numero dispari di termini hai somma parziale -1/2, se ti fermi dopo un numero pari di termini hai somma parziale 0.
la serie, quindi, pur essendo limitata, non ammette limite. (un modo per vederlo potrebbe essere il criterio del rapporto: il rapporto tra due qualsiasi termini consecutivi è -1...). ciao.
"adaBTTLS":
in generale, c'è parecchia teoria, ed io non sono la persona più adatta a ricordartela...
in questo caso particolare, vedi che il secondo elemento è uguale al primo, e così via, i termini della successione sono tutti uguali ad 1/2 ....
dunque la successione è limitata, la serie corrispondente ( $Sigma_(n=1)^(+oo)\a_n$ ) no, la serie proposta è a segni alterni...
se ti fermi ad un numero dispari di termini hai somma parziale -1/2, se ti fermi dopo un numero pari di termini hai somma parziale 0.
la serie, quindi, pur essendo limitata, non ammette limite. (un modo per vederlo potrebbe essere il criterio del rapporto: il rapporto tra due qualsiasi termini consecutivi è -1...). ciao.
come hai fatto a capire qual'è la serie corrispondente?
io per "serie corrispondente" intendo la somma di tutti i termini della successione.
"adaBTTLS":
io per "serie corrispondente" intendo la somma di tutti i termini della successione.
si ma è una cosa che hai fatto ad intuizione no?
"adaBTTLS":
in generale, c'è parecchia teoria, ed io non sono la persona più adatta a ricordartela...
in questo caso particolare, vedi che il secondo elemento è uguale al primo, e così via, i termini della successione sono tutti uguali ad 1/2 .....
Non sono d'accordo.
$a_1 =1/2$
$a_2 = 1/2 - 1/4 = 1/4$
$a_3= 1/4-1/16 =3/16$ ...
La successione è a termini positivi (dato che $x^2 < x \rightarrow x-x^2 >0$ se $0
Il suo limite è $0$. Per il criterio di Leibniz la serie converge.
Paola
scusami... ho detto una sciocchezza che dipende da quello che ti ho scritto prima, cioè "perché i termini sono tutti uguali ad 1/2". in realtà non è vero:
$a_1=1/2$
$a_2=a_1 - a_1^2=1/2-1/4=1/4$
$a_3=a_2 - a_2^2=1/4-1/16=3/16$
$a_4=a_3 - a_3^2=3/16-9/256=39/256$
....
scusami ancora. ciao.
$a_1=1/2$
$a_2=a_1 - a_1^2=1/2-1/4=1/4$
$a_3=a_2 - a_2^2=1/4-1/16=3/16$
$a_4=a_3 - a_3^2=3/16-9/256=39/256$
....
scusami ancora. ciao.
"adaBTTLS":
scusami... ho detto una sciocchezza che dipende da quello che ti ho scritto prima, cioè "perché i termini sono tutti uguali ad 1/2". in realtà non è vero:
$a_1=1/2$
$a_2=a_1 - a_1^2=1/2-1/4=1/4$
$a_3=a_2 - a_2^2=1/4-1/16=3/16$
$a_4=a_3 - a_3^2=3/16-9/256=39/256$
....
scusami ancora. ciao.
infatti non mi tornava..
quello che non capisco è come prendere il termine generale da studiare della serie ,non posso limitarmi allo studio della semplice serie ma devo tenere in considerazione altre cose che mi suggerisce la successione...
"prime_number":
[quote="adaBTTLS"]in generale, c'è parecchia teoria, ed io non sono la persona più adatta a ricordartela...
in questo caso particolare, vedi che il secondo elemento è uguale al primo, e così via, i termini della successione sono tutti uguali ad 1/2 .....
Non sono d'accordo.
$a_1 =1/2$
$a_2 = 1/2 - 1/4 = 1/4$
$a_3= 1/4-1/16 =3/16$ ...
La successione è a termini positivi (dato che $x^2 < x \rightarrow x-x^2 >0$ se $0
Il suo limite è $0$. Per il criterio di Leibniz la serie converge.
Paola[/quote]
E' vero , basta il criterio delle serie a segni alterni.
Ma se invece vogliamo studiare la serie
$\sum_{k=0}^{+infty} a_k$
cosa succede?
A prima vista non è ovvio al 100%..
"adaBTTLS":
scusami ancora. ciao.
Vai tranquillo
io l'altro giorno ho detto di peggio in trigonometria ihihih... @franced:
Nel caso che dici tu, io userei il criterio del rapporto: $\lim_{n \to + \infty} (a_{n+1})/a_n = \lim_{n \to + infty} (1-a_n)$. Ora, la successione è monotona dunque ha limite e di sicuro sarà strettamente minore di 1. Quindi il risultato del limite sarà a sua volta strettamente minore di 1 e dunque c'è la convergenza della serie.
@amarzendi
Non comprendo bene la tua difficoltà. Per studiare la serie tu devi sempre prenderne il termine, no? In questo caso non è però esplicito come potrebbe esserlo un confortante $1/n^2$ oppure un inquietante $(sen( n^3 - 4/n))^(ln5n)$, ma c'è solo un $a_n$.
Ora, a quel punto è sufficiente studiare la successione $a_n$, in modo da poter applicare i criteri che conosci.
Ad esempio, io ho visto che c'era il $(-1)^n$ e ho pensatoa Lebniz: mi diceva però che dovevo verificare che la successione $a_n$ fosse a termini positivi, decrescente e tendente a 0, e ho cercato di vederlo. Più chiaro?
Paola
@ Paola
grazie per la comprensione...
la lentezza del mio computer questa mattina mi sta facendo impazzire...
ciao. complimenti e in bocca al lupo per i prossimi esami!
grazie per la comprensione...
la lentezza del mio computer questa mattina mi sta facendo impazzire...
ciao. complimenti e in bocca al lupo per i prossimi esami!
"prime_number":
@amarzendi
Non comprendo bene la tua difficoltà. Per studiare la serie tu devi sempre prenderne il termine, no? In questo caso non è però esplicito come potrebbe esserlo un confortante $1/n^2$ oppure un inquietante $(sen( n^3 - 4/n))^(ln5n)$, ma c'è solo un $a_n$.
Ora, a quel punto è sufficiente studiare la successione $a_n$, in modo da poter applicare i criteri che conosci.
Ad esempio, io ho visto che c'era il $(-1)^n$ e ho pensatoa Lebniz: mi diceva però che dovevo verificare che la successione $a_n$ fosse a termini positivi, decrescente e tendente a 0, e ho cercato di vederlo. Più chiaro?
Paola
si sei stata abbastanza chiara...pensavo che dovevo ricavarmi un altra serie prendendo spunto dalla successione e dalla serie data...invede è più semplice di quanto sembra...
"adaBTTLS":
@ Paola
complimenti e in bocca al lupo per i prossimi esami!
crepi il lupo!!
@amarzendi
prova a fare qualche altro esercizio, così se hai la stessa difficoltà vediamo di risolverla
, proverò a spiegartela in altro modo.Ciao!
Paola
"prime_number":
[quote="adaBTTLS"]@ Paola
complimenti e in bocca al lupo per i prossimi esami!
crepi il lupo!!
@amarzendi
prova a fare qualche altro esercizio, così se hai la stessa difficoltà vediamo di risolverla
, proverò a spiegartela in altro modo.Ciao!
Paola[/quote]
va bene ho un altro paio di esercizi di questo tipo se avrò problemi ti faccio sapere grazie per la disponibilità...
qualcuno mi sa dire se il ragionamento è giusto??
date le 2 successioni
$\{(b_1= 1),(b_2 = 1),(b_(n+2) = -b_n):}$
$\{(a_1 = 1/2),(a_(n+1)= a_n - (a_n)^2):}$
studiare il carattere della serie:
$\sum_{n=1}^\infty\b_n a_n$
$a_n$ è monotona decrescente e a termini di segno non negativo
invece :
$b_1=1$
$b_2=1$
$b_3=-1$
$b_4=-1$
$b_5=1$
$b_6=1$
...
quindi la successione $b_n$ è indeterminata...allora la serie è a segno variabile quindi l'unica cosa da poter fare è vedere l'assoluta convergenza
$\sum_{n=1}^\infty\|b_n a_n|$ =$\sum_{n=1}^\infty\|b_n |*|a_n|$=$\sum_{n=1}^\infty\|a_n|$
$\sum_{n=1}^\infty\|a_n|$ è assolutamente convergente quindi la serie$\sum_{n=1}^\infty\b_n a_n$ è convergente...
spero di non aver fatto gravi errori...
date le 2 successioni
$\{(b_1= 1),(b_2 = 1),(b_(n+2) = -b_n):}$
$\{(a_1 = 1/2),(a_(n+1)= a_n - (a_n)^2):}$
studiare il carattere della serie:
$\sum_{n=1}^\infty\b_n a_n$
$a_n$ è monotona decrescente e a termini di segno non negativo
invece :
$b_1=1$
$b_2=1$
$b_3=-1$
$b_4=-1$
$b_5=1$
$b_6=1$
...
quindi la successione $b_n$ è indeterminata...allora la serie è a segno variabile quindi l'unica cosa da poter fare è vedere l'assoluta convergenza
$\sum_{n=1}^\infty\|b_n a_n|$ =$\sum_{n=1}^\infty\|b_n |*|a_n|$=$\sum_{n=1}^\infty\|a_n|$
$\sum_{n=1}^\infty\|a_n|$ è assolutamente convergente quindi la serie$\sum_{n=1}^\infty\b_n a_n$ è convergente...
spero di non aver fatto gravi errori...
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