Data La seguente Funzione, determinare l'ordine di infinitesimo
Salve a tutti ragazzi , sto trovando delle difficoltà nella preparazione dello scritto di Analisi I , e uno dei quesiti più ricorrenti , è quello di determinare l'ordine di infinitesimo di una o più funzioni.
La teoria l'ho capita , ma non capisco come si risolvono questo tipo di esercizi. Un'esercizio tipo è il seguente:
Data la seguente funzione:
$$f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}+\log(\sqrt{9+x}-2)$$
Adesso allego anche lo svolgimento :
Potreste spiegarmi come arriva subito a determinare l'ordine di infinitesimo?(cioè quello che viene scritto subito a denominatore), e i passaggi che ha effettuato durante lo svolgimento?
Grazie in anticipo a tutti
La teoria l'ho capita , ma non capisco come si risolvono questo tipo di esercizi. Un'esercizio tipo è il seguente:
Data la seguente funzione:
$$f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}+\log(\sqrt{9+x}-2)$$
Adesso allego anche lo svolgimento :
La funzione $f(x)$ è somma di due infinitesimi, per $x \to 0^+$. L'ordine di $\root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $1/3$, per $x \to 0^+$, in quanto:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x}}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt[3]{\frac{-x}{2(x+2)}}}{\sqrt[3]{x}}=\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{\frac{-1}{2(x+2)}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$$
L'ordine di $\log(\sqrt{9+x}-2)$ rispetto a $x$ è $1$, per $x \to 0^+$, in quanto:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(\sqrt{9+x}-2)}{x}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(\sqrt{9+x}-3+1)}{x(\sqrt{9+x}-3)}\cdot \frac{\sqrt{9+x}-3}{\sqrt{9+x}+3}\cdot (\sqrt{9+x}+3)$$
$$=\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(\sqrt{9+x}-3+1)}{\sqrt{9+x}-3}\cdot \frac{9+x-9}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{9+x}+3}=\frac{1}{6}$$
Pertanto, l'ordine di infinitesimo di $f(x)$ rispetto a $x$, per $x \to 0^+$, è $1/3$.
Potreste spiegarmi come arriva subito a determinare l'ordine di infinitesimo?(cioè quello che viene scritto subito a denominatore), e i passaggi che ha effettuato durante lo svolgimento?
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Ciao Biagio2580, benvenuto sul forum!
Qui puoi trovare il regolamento e qui puoi trovare un tutorial per scrivere le formule. Non è gradito che vengano postate immagini perché, col tempo, vengono rimosse dai siti che le caricano; questo rende i messaggi illegibili per coloro che passeranno di qui in futuro, e il forum serve sì per aiutare chi chiede ma anche per aiutare chi passa e ha gli stessi dubbi. Ti chiedo cortesemente di modificare il messaggio (c'è il pulsante "Modifica" in alto a destra sul tuo messaggio) e scrivere il testo con le formule; questo invoglierà gli utenti ad aiutarti, grazie!
Mi rendo conto che lo svolgimento sia un po' lungo da ricopiare, però almeno riscrivi il testo: poi ci penso io a riscrivere lo svolgimento con le formule.
Qui puoi trovare il regolamento e qui puoi trovare un tutorial per scrivere le formule. Non è gradito che vengano postate immagini perché, col tempo, vengono rimosse dai siti che le caricano; questo rende i messaggi illegibili per coloro che passeranno di qui in futuro, e il forum serve sì per aiutare chi chiede ma anche per aiutare chi passa e ha gli stessi dubbi. Ti chiedo cortesemente di modificare il messaggio (c'è il pulsante "Modifica" in alto a destra sul tuo messaggio) e scrivere il testo con le formule; questo invoglierà gli utenti ad aiutarti, grazie!
Mi rendo conto che lo svolgimento sia un po' lungo da ricopiare, però almeno riscrivi il testo: poi ci penso io a riscrivere lo svolgimento con le formule.
Va bene provo subito
Proviamo a ragionare sul logaritmo.
Sappiamo (dai limiti notevoli) che:
$log(1+t) approx t$ quando $t -> 0$,
dunque per il Teorema sul limite della funzione composta:
$log(sqrt(9 + x) - 2) = log(1+sqrt(9 + x) - 3) approx sqrt(9 + x) - 3$ quando $x -> 0$.
D'altra parte, sappiamo anche che:
$sqrt(1 + t) - 1 approx 1/2 t$ quando $t -> 0$,
quindi:
$sqrt(9 + x) - 3 = 3 sqrt(1 + x/9) - 3 = 3(sqrt(1 + x/9) - 1) approx 3*1/2*x/9 = 1/6 x$ quando $x->0$.
Mettendo insieme le due cose troviamo:
$log(sqrt(9 + x) - 2) approx 1/6 x$ quando $x->0$
cosicché il secondo addendo ha ordine $1$.
Prova tu col secondo.
Sappiamo (dai limiti notevoli) che:
$log(1+t) approx t$ quando $t -> 0$,
dunque per il Teorema sul limite della funzione composta:
$log(sqrt(9 + x) - 2) = log(1+sqrt(9 + x) - 3) approx sqrt(9 + x) - 3$ quando $x -> 0$.
D'altra parte, sappiamo anche che:
$sqrt(1 + t) - 1 approx 1/2 t$ quando $t -> 0$,
quindi:
$sqrt(9 + x) - 3 = 3 sqrt(1 + x/9) - 3 = 3(sqrt(1 + x/9) - 1) approx 3*1/2*x/9 = 1/6 x$ quando $x->0$.
Mettendo insieme le due cose troviamo:
$log(sqrt(9 + x) - 2) approx 1/6 x$ quando $x->0$
cosicché il secondo addendo ha ordine $1$.
Prova tu col secondo.
Ma non capisco come faccio a dire subito che a denominatore ho prima radice terza di x , e poi x (che alla fine sono proprio i termini che mi danno il grado dell'infinitesimo),cioè , come ci posso arrivare?
Te l'ho fatto vedere come ci si arriva: basta usare i limiti notevoli.
Pensaci un po' su e prova...
P.S.: Chi ha scritto le soluzioni "sta barando", didatticamente parlando, perché sembra che la soluzione la stia tirando fuori dal cilindro... Non farti spaventare da questo fatto: è l'autore che ha sbagliato approccio, preferendo quello "Volevamo stupirvi con effetti speciali..." a quello "Vediamo come si fa se non si sa nulla".
Pensaci un po' su e prova...
P.S.: Chi ha scritto le soluzioni "sta barando", didatticamente parlando, perché sembra che la soluzione la stia tirando fuori dal cilindro... Non farti spaventare da questo fatto: è l'autore che ha sbagliato approccio, preferendo quello "Volevamo stupirvi con effetti speciali..." a quello "Vediamo come si fa se non si sa nulla".
Ciao Biagio2580,
Nel caso della prima parte $ g(x) := \root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}} $ della funzione $f(x) $ proposta ci puoi arrivare direttamente con la definizione:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x^a} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}}{x^a} $
$g(x) $ è infinitesima infinitesima di ordine $a$ rispetto a $x$ se il risultato del limite è un numero finito diverso da zero. Procedendo col denominatore comune a numeratore si ha:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}}{x^a} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{- x}{2(x+2)}}}{x^a} = - \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^{1/3}}{[2(x+2)]^{1/3}}}{x^a} = - 1/(\root[3]{2}) \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{1/3 - a}}{\root[3]{x + 2}} $
L'ultimo limite scritto ha risultato finito diverso da $0$ se e solo se $1/3 - a = 0 \iff a = 1/3 $
"Biagio2580":
come ci posso arrivare?
Nel caso della prima parte $ g(x) := \root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}} $ della funzione $f(x) $ proposta ci puoi arrivare direttamente con la definizione:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x^a} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}}{x^a} $
$g(x) $ è infinitesima infinitesima di ordine $a$ rispetto a $x$ se il risultato del limite è un numero finito diverso da zero. Procedendo col denominatore comune a numeratore si ha:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}}{x^a} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{- x}{2(x+2)}}}{x^a} = - \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^{1/3}}{[2(x+2)]^{1/3}}}{x^a} = - 1/(\root[3]{2}) \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{1/3 - a}}{\root[3]{x + 2}} $
L'ultimo limite scritto ha risultato finito diverso da $0$ se e solo se $1/3 - a = 0 \iff a = 1/3 $
Ora è più chiaro , grazie a tutti per l'aiuto
"Biagio2580":
Ora è più chiaro , grazie a tutti per l'aiuto
Prego, ma sapresti riprodurre un ragionamento analogo in un caso simile?
"gugo82":
[quote="Biagio2580"]Ora è più chiaro , grazie a tutti per l'aiuto
Prego, ma sapresti riprodurre un ragionamento analogo in un caso simile?[/quote]
In questo caso ho capito il ragionamento , non so poi come mi potrei trovare onestamente in un caso diverso
"gugo82":
[quote="Biagio2580"]Ora è più chiaro , grazie a tutti per l'aiuto
Prego, ma sapresti riprodurre un ragionamento analogo in un caso simile?[/quote]
Per la precisione per il logaritmo è ok , in quanto conosco il suo limite notevole , ma non capisco che limite notevole è stato applicato per la radice
Il limite della potenza:
$lim_(t ->0) ((1+t)^a -1)/t = a$
con $a=1/2$.
$lim_(t ->0) ((1+t)^a -1)/t = a$
con $a=1/2$.
"Biagio2580":
ma non capisco che limite notevole è stato applicato per la radice
Come ti ho già scritto nel mio post precedente, per il termine $ g(x) := \root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}} $ non è stato applicato alcun limite notevole, ma semplicemente la definizione:
"pilloeffe":
[...] ci puoi arrivare direttamente con la definizione:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x^a} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\root[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}}{x^a} $
$g(x)$ è infinitesima infinitesima di ordine $a$ rispetto a $x$ se il risultato del limite è un numero finito diverso da zero.
"gugo82":
Il limite della potenza:
$ \lim_(t \to 0) ((1+t)^a -1)/t = a $
con $a=1/2$.
No, il limite notevole citato non è applicabile nel caso in esame, in quanto per ciò che compare sotto radice cubica (non quadrata) $\lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}) \ne 1 $, infatti si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}) = 0$
@ pilloeffe: E pure hai ragione... Non so perché, forse ricordavo male il testo dell'esercizio. Grazie per la correzione.
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