Data la funzione
$f(x)={(x/sqrt(y),if y>0),(0,if y=0):}$
a) stabilire se è continua in $(0,0)$
b)stabilire se è uniformemente continua in $D = {(x,y) : |x|<=y<=2}$
la funzione non è continua in (0,0), gia l'ho verificato.
Peró, non essendo continua in 0,0, non sarà nemmeno continua nel dominio poichè nel modulo viene compreso il punto 0,0.
Da questo deduco che (da heine-cantor) la funzione non è uniformemente continua in D.
Giusto?
a) stabilire se è continua in $(0,0)$
b)stabilire se è uniformemente continua in $D = {(x,y) : |x|<=y<=2}$
la funzione non è continua in (0,0), gia l'ho verificato.
Peró, non essendo continua in 0,0, non sarà nemmeno continua nel dominio poichè nel modulo viene compreso il punto 0,0.
Da questo deduco che (da heine-cantor) la funzione non è uniformemente continua in D.
Giusto?
Risposte
Prima di tutto Heine-Cantor non fornisce una condizione suficiente e necessaria per l'uniforme continuità...
Quello che puoi dire è che, se la funzione fosse uniformemente continua in $D$, allora dovrebbe essere continua in $D$, cosa che hai constatato non risulta.
Quello che puoi dire è che, se la funzione fosse uniformemente continua in $D$, allora dovrebbe essere continua in $D$, cosa che hai constatato non risulta.
P.S.: Come hai verificato che la funzione non è continua in $(0,0)$? Non penso sia giusto.
[xdom="gugo82"]Un titolo più attinente all'argomento trattato, please.[/xdom]
Dato che la funzione non esiste in (0,0) si può affermare che non è continua in (0,0) ?
"MILITO1991":
Dato che la funzione non esiste in (0,0) si può affermare che non è continua in (0,0) ?
... Ma la funzione è definita in $(0,0)$.
quindi quando ho esercizi del genere per stabilire la continuità della funzione in un punto come mi comporto? Esempio:
Se devo stabilire la continuità della funzione nel punto (0,0) è superfluo impostare il limite per $(x,y)->(0,0)$ dato che la funzione in quel punto è definita?
Se devo stabilire la continuità della funzione nel punto (0,0) è superfluo impostare il limite per $(x,y)->(0,0)$ dato che la funzione in quel punto è definita?
@anima123: E cosa succede se consideri la funzione nell'insieme \(E:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ |y|\leq x\leq 2\}\)?
@MILITO1991: Ma scusa, ragiona un po'... Qual è la definizione di continuità?
Basta questo per chiarirti le idee.
@MILITO1991: Ma scusa, ragiona un po'... Qual è la definizione di continuità?
Basta questo per chiarirti le idee.
Una funzione è continua in un punto se esiste il limite
$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
dove $f(x_0,y_0)$ puó essere sia finito che infinito.
Penso che su questo non ci siano dubbi...
Dunque, per vedere se quella funzione è continua in 0,0 bisogna fare il limte descritto sopra con x0 e y0 uguali a 0.
Se faccio il limite con $(x,0)$ e con $(0,y)$ i limiti vengono diversi ($0$ e $infty$) e gia da quello si puó dire che il limite non esiste ( anche facendo i limiti sulla retta e sulla parabola)
Inoltre, anche se il limite esistesse, non saprei come calcolarlo ne con maggiorazioni nè con altro.
Una funzione è uniformemente continua in un compatto se è continua in esso (Heine-cantor).
In quel triangolo lo 0,0 è compreso. In quel punto (per quanto è stato detto in questa risposta) la funzione non è continua poichè non è possibile calcolare il limite. Da questo deduco che la funz non è unif cont.
Unico problema è che nella descrizione della funzione c'è scritto che in y=0 vale 0. Per cui la funz
Dovrebbe per forza esistere.
Quindi la domada diventa : come si risolve quel limite?
Grazie a tutti
$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
dove $f(x_0,y_0)$ puó essere sia finito che infinito.
Penso che su questo non ci siano dubbi...
Dunque, per vedere se quella funzione è continua in 0,0 bisogna fare il limte descritto sopra con x0 e y0 uguali a 0.
Se faccio il limite con $(x,0)$ e con $(0,y)$ i limiti vengono diversi ($0$ e $infty$) e gia da quello si puó dire che il limite non esiste ( anche facendo i limiti sulla retta e sulla parabola)
Inoltre, anche se il limite esistesse, non saprei come calcolarlo ne con maggiorazioni nè con altro.
Una funzione è uniformemente continua in un compatto se è continua in esso (Heine-cantor).
In quel triangolo lo 0,0 è compreso. In quel punto (per quanto è stato detto in questa risposta) la funzione non è continua poichè non è possibile calcolare il limite. Da questo deduco che la funz non è unif cont.
Unico problema è che nella descrizione della funzione c'è scritto che in y=0 vale 0. Per cui la funz
Dovrebbe per forza esistere.
Quindi la domada diventa : come si risolve quel limite?
Grazie a tutti
"anima123":
Una funzione è continua in un punto se esiste il limite
$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
dove $f(x_0,y_0)$ puó essere sia finito che infinito.
Può essere infinito?
"anima123":
Se faccio il limite con $(x,0)$ e con $(0,y)$
Che vuol dire "fare il limite con"? Scrivilo per bene.
"anima123":
(anche facendo i limiti sulla retta e sulla parabola)
Posta i tuoi conti, per piacere.
"anima123":
Una funzione è uniformemente continua in un compatto se è continua in esso (Heine-cantor).
In quel triangolo lo 0,0 è compreso. In quel punto (per quanto è stato detto in questa risposta) la funzione non è continua poichè non è possibile calcolare il limite. Da questo deduco che la funz non è unif cont.
Come ti ho già detto H-C ti fornisce solo una condizione SUFFICIENTE. Non è che se le ipotesi del teorema non si verificano tu puoi dire che che $f$ non è u.c..
Se la $f$ non fosse continua in $(0,0)$ allora potresti dire che $f$ non può essere $u.c.$ (risultato che non c'entra niente con Heine-Cantor). Ma io ho il sospetto che quella funzione sia continua in $(0,0)$.
$lim_((x,0)to(0,0)) x/sqrty = infty$
$lim_((0,y)to(0,0)) x/sqrty = 0$
$lim_((x,mx^2)to(0,0)) x/sqrty = 1/sqrtm$
Penso sia sufficiente per dire che il limite non esista.
Se esiste potresti aiutarmi a risolverlo
Grazie
$lim_((0,y)to(0,0)) x/sqrty = 0$
$lim_((x,mx^2)to(0,0)) x/sqrty = 1/sqrtm$
Penso sia sufficiente per dire che il limite non esista.
Se esiste potresti aiutarmi a risolverlo
Grazie
Il primo limite è sbagliato. Infatti, muovendosi sull'asse delle $x$, cioè pensando $y = 0$ costante, la tua funzione è $f(x,0) = 0$ , $AA x in RR$ (è definita a tratti!). Quindi il limite lungo l'asse $x$ è $0$.
Il secondo va bene, poiché per $y!= 0$ (ed è questo il tuo caso) si ha che $f(0,y) -> 0$ per $y -> 0$.
Il 3° limite sembra più patologico. Infatti non esiste perché $sqrt( m x^2 ) = | x | sqrt(m)$. Dunque avresti :
$f(x,mx^2) = sgn(x) 1/sqrt(m)$ e $\lim_{ x -> 0 } [ sgn(x) * 1/sqrt(m) ] $ non esiste.
Credo che in una situazione del genere tu non possa concludere niente sulla non esistenza del limite di partenza.
Il secondo va bene, poiché per $y!= 0$ (ed è questo il tuo caso) si ha che $f(0,y) -> 0$ per $y -> 0$.
Il 3° limite sembra più patologico. Infatti non esiste perché $sqrt( m x^2 ) = | x | sqrt(m)$. Dunque avresti :
$f(x,mx^2) = sgn(x) 1/sqrt(m)$ e $\lim_{ x -> 0 } [ sgn(x) * 1/sqrt(m) ] $ non esiste.
Credo che in una situazione del genere tu non possa concludere niente sulla non esistenza del limite di partenza.
Però sicuramente si ha che per $y = m x^4$ e per $m != 0$:
$f( x , m x^4 ) = x/(x^2 * sqrt(m)) = 1/(x * sqrt(m))$
$lim_(x -> 0^+) f(x, m x^4) = +oo$ .
Allora in effetti il limite non esiste e la funzione $f(x,y)$ non è continua in $(0,0)$. Tuttavia le cose cambiano se consideri la $f$ definita in $D$...
$f( x , m x^4 ) = x/(x^2 * sqrt(m)) = 1/(x * sqrt(m))$
$lim_(x -> 0^+) f(x, m x^4) = +oo$ .
Allora in effetti il limite non esiste e la funzione $f(x,y)$ non è continua in $(0,0)$. Tuttavia le cose cambiano se consideri la $f$ definita in $D$...
Io ragiono. O almeno ci provo.Per vedere se quella funzione è continua in (0,0) devo impostare il limite per $(x,y)->( (0,0)$ e quel limite deve esistere ed essere finito.Ora il limite per quella funzione non esiste perchè facendola passare per due diverse curve (la retta e la parabola) dà due risultati diversi.Dunque mi chiedo : La funzione non è continua in (0,0) o dato che in (0,0) vale 0 (perchè è la traccia a dirmelo) risulta continua?? Grazie!
"MILITO1991":
Io ragiono. O almeno ci provo.Per vedere se quella funzione è continua in (0,0) devo impostare il limite per $(x,y)->( (0,0)$ e quel limite deve esistere ed essere finito.Ora il limite per quella funzione non esiste perchè facendola passare per due diverse curve (la retta e la parabola) dà due risultati diversi.Dunque mi chiedo : La funzione non è continua in (0,0) o dato che in (0,0) vale 0 (perchè è la traccia a dirmelo) risulta continua?? Grazie!
Se il limite non esiste non può risultare continua...
Grazie Seneca cosa cambia invece considerando la funzione in D?
Direi che potresti usare le coordinate polari.
Metto in spoiler l'intervento per lasciarvi l'opportunità di sfruttare l'hint.
Metto in spoiler l'intervento per lasciarvi l'opportunità di sfruttare l'hint.
[xdom="gugo82"]Chiuso.
Non è bello ignorare le richieste dei moderatori.
Mi auguro che non capiti più.
Anima123 avvisata...[/xdom]
Non è bello ignorare le richieste dei moderatori.
Mi auguro che non capiti più.
Anima123 avvisata...[/xdom]
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