Dannate serie geometriche
Lo so che il titolo non onora queste serie che in realtà sono molto importanti, ma io le odio 
Devo risolvere questo esercizio:
Calcolare, motivando i passaggi, la somma della seguente serie:
$ sum_{n=0}^\infty \int_{0}^{frac {1}{2}} (-1)^{n} x^{2n} (arctanx) dx $
Sotto il segno di integrale c'è una successione di funzioni continue, quindi posso applicare il teorema di
integrazione termine a termine per le serie:
$ sum_{n=0}^\infty \int_{a}^{b} f_n(x)dx = \int_{a}^{b} S(x)dx $ dove S(x) è la somma della serie.
Ora la soluzione dice:
"integrare termine a termine e sfruttare la somma della serie geometrica."
"L'integrale è pari a":
$ int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac {1}{1+x^2} (arctanx) dx = \frac {(arctan(\frac{1}{2}))^2}{2} $
L'arctanx non è stato toccato e il termine $ \frac {1}{1+x^2} $ rappresenta la somma di $ (-1)^n x^(2n) $ ?
Devo risolvere questo esercizio:
Calcolare, motivando i passaggi, la somma della seguente serie:
$ sum_{n=0}^\infty \int_{0}^{frac {1}{2}} (-1)^{n} x^{2n} (arctanx) dx $
Sotto il segno di integrale c'è una successione di funzioni continue, quindi posso applicare il teorema di
integrazione termine a termine per le serie:
$ sum_{n=0}^\infty \int_{a}^{b} f_n(x)dx = \int_{a}^{b} S(x)dx $ dove S(x) è la somma della serie.
Ora la soluzione dice:
"integrare termine a termine e sfruttare la somma della serie geometrica."
"L'integrale è pari a":
$ int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac {1}{1+x^2} (arctanx) dx = \frac {(arctan(\frac{1}{2}))^2}{2} $
L'arctanx non è stato toccato e il termine $ \frac {1}{1+x^2} $ rappresenta la somma di $ (-1)^n x^(2n) $ ?
Risposte
Detto da subito che,da quanto hai scritto,non son certo ti sia chiaro il teorema d'integrazione per serie,
prendo per buono che l'hai applicato dopo aver ben verificato che ti ritrovi nelle sue ipotesi
(i.e. l'uniforme convergenza,nell'intervallo base d'integrazione,
della serie di funzioni avente per termine generale la successione di funzioni integrande di quella famiglia numerabile d'integrali definiti..ma basta pure la totale convergenza in tale intervallo
):
a quel punto ti basta notare che la tesi di quest'ultimo assicura come $int_0^(1/2)sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n x^(2n)"arctgx "dx=sum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dx$,
o se preferisci $int_0^(1/2)"arctgx"*sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n (x^2)^n" "dx$
(giustificabile evidenziando il termine comune nella successione delle somme parziali della serie di funzioni costituente la funzione integranda del I° membro,e per elementari proprietà delle potenze)$=$
$=sum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dxrArrsum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dx=int_0^(1/2)"arctgx"sum_(n=0)^(+oo)(-x^2)^nrArr$
$rArrsum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dx=int_0^(1/2)"arctgx"*1/(1+x^2) dx$
(quanto scritto al II° membro è giustificato,come da te detto,dalla nota somma d'una serie geometrica di ragione,
addirittura,compresa tra $-1/4$ e $0$ nel nostro intervallo d'integrazione..)$=$
$=..=1/2"arctg"^2(1/2)$.
Saluti dal web.
prendo per buono che l'hai applicato dopo aver ben verificato che ti ritrovi nelle sue ipotesi
(i.e. l'uniforme convergenza,nell'intervallo base d'integrazione,
della serie di funzioni avente per termine generale la successione di funzioni integrande di quella famiglia numerabile d'integrali definiti..ma basta pure la totale convergenza in tale intervallo
):a quel punto ti basta notare che la tesi di quest'ultimo assicura come $int_0^(1/2)sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n x^(2n)"arctgx "dx=sum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dx$,
o se preferisci $int_0^(1/2)"arctgx"*sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n (x^2)^n" "dx$
(giustificabile evidenziando il termine comune nella successione delle somme parziali della serie di funzioni costituente la funzione integranda del I° membro,e per elementari proprietà delle potenze)$=$
$=sum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dxrArrsum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dx=int_0^(1/2)"arctgx"sum_(n=0)^(+oo)(-x^2)^nrArr$
$rArrsum_(n=0)^(+oo)int_0^(1/2)(-1)^n x^(2n) "arctgx"dx=int_0^(1/2)"arctgx"*1/(1+x^2) dx$
(quanto scritto al II° membro è giustificato,come da te detto,dalla nota somma d'una serie geometrica di ragione,
addirittura,compresa tra $-1/4$ e $0$ nel nostro intervallo d'integrazione..)$=$
$=..=1/2"arctg"^2(1/2)$.
Saluti dal web.
Quindi per poter applicare l'integrazione termine a termine dovrei verificare se la successione
$ (-x^2)^n $ converge uniformemente (-->puntualmente) in $ [0,\frac {1}{2}] $?
$ (-x^2)^n $ converge uniformemente (-->puntualmente) in $ [0,\frac {1}{2}] $?
Si:
ed è questa la ragione per la quale basta la totale convergenza in quell'intervallo..
Saluti dal web.
ed è questa la ragione per la quale basta la totale convergenza in quell'intervallo..
Saluti dal web.
Perdona l'insistenza ma l'integrale alla fine come è stato calcolato?
Onestamente non ho capito se hai difficoltà a calcolare $int_0^(1/2)"arctg" x d("arctg"x)$ o se ne hai a dimostrare che,
essendo totalmente(e dunque uniformemente)convergente la serie di funzioni data
(non è difficilissimo verificare che $|f_n(x)|<=pi/2(1/4)^n$ $AA x in [0,1/2],AA n in NN$..),
è lecito trasportare quel segno di sommatoria sotto l'integrale e proseguire i conti nel modo indicato in precedenza:
saluti dal web.
essendo totalmente(e dunque uniformemente)convergente la serie di funzioni data
(non è difficilissimo verificare che $|f_n(x)|<=pi/2(1/4)^n$ $AA x in [0,1/2],AA n in NN$..),
è lecito trasportare quel segno di sommatoria sotto l'integrale e proseguire i conti nel modo indicato in precedenza:
saluti dal web.
Ho risolto, grazie 
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