Dannate funzioni a due variabili
[tex]\lim_{(x,y) \to \(0,0) }\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}[/tex]
Calcolo questo limite perchè devo verificare se è continua e dotata di derivate parziali nel punto (0,0).
Non ho la più pallida idea di come si possa fare questo limite...
Calcolo questo limite perchè devo verificare se è continua e dotata di derivate parziali nel punto (0,0).
Non ho la più pallida idea di come si possa fare questo limite...
Risposte
prova prima di tutto a muoverti tenendo fissa una variabile.
Poni prima $x=0$ e calcola il limite per $y -> 0$. Poi fai il viceversa, fissa $y=0$ e calcola il limite per $x->0$. Se già vedi che sono diverse, allora non è continua in quel punto.
Se sono uguali... prova ponendo $x = l*t$ ed $y = m*t$, e calcola il limite per $t-> 0$.
Se sono ancora uguali... beh ancora non puoi dire che è continua... comunque ad occhio mi sembra che vi è una discontinuità in 0. Prova!
Poni prima $x=0$ e calcola il limite per $y -> 0$. Poi fai il viceversa, fissa $y=0$ e calcola il limite per $x->0$. Se già vedi che sono diverse, allora non è continua in quel punto.
Se sono uguali... prova ponendo $x = l*t$ ed $y = m*t$, e calcola il limite per $t-> 0$.
Se sono ancora uguali... beh ancora non puoi dire che è continua... comunque ad occhio mi sembra che vi è una discontinuità in 0. Prova!
$lim_(x,y-> 0,0) (x^2+y^4)/(|x|+y^2)=lim_(x,y->0,0) ( (|x|+y^2)^2 - 2|x|y^2 ) / (|x|+y^2) = lim_(x,y->0,0) (|x|+y^2) -(2|x|y^2) / (|x|+y^2) =lim_(x,y->0,0) (|x|+y^2) - lim_(x,y->0,0) (2|x|y^2) / (|x|+y^2)
Ora il primo limite è zero, il secondo applicando alcune maggiorazioni
$ 0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2y^2$ pertanto anche il secondo limite fa zero (se $(x,y)->(0,0)$ allora $2y^2->0$). Quindi anche se (0,0) non fa parte del dominio la funzione è comunque estendibile nell'origine per continuità.
Ora il primo limite è zero, il secondo applicando alcune maggiorazioni
$ 0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2y^2$ pertanto anche il secondo limite fa zero (se $(x,y)->(0,0)$ allora $2y^2->0$). Quindi anche se (0,0) non fa parte del dominio la funzione è comunque estendibile nell'origine per continuità.
Sto provando con la tua seconda tecnica, però...ho dei dubbi, se vado a calcolare quel limite avrei:
[tex]\lim_{t \to0 }\frac{(lt)^2+(mt)^4}{|lt|+(mt)^2}[/tex]
Giusto?
[tex]\lim_{t \to0 }\frac{(lt)^2+(mt)^4}{|lt|+(mt)^2}[/tex]
Giusto?
Si, in teoria se il limite ti risulta una funzione di l o m allora esso dipenderebbe dalla retta scelta e non esisterebbe.
Ti avevo proposto questo metodo perchè pensavo che non esistesse tale limite, klarence mi ha dimostrato il contrario comunque
Ti avevo proposto questo metodo perchè pensavo che non esistesse tale limite, klarence mi ha dimostrato il contrario comunque
Mh....non riesco a seguire, non capisco questi confronti...e questi limiti....già l'inizio non mi è chiaro, al numeratore klarence
[tex](|x|+y^2)^2-2|x|y^2[/tex]
Ora io sono [tex]-\infty[/tex] in matematica
però ad un esame non capisco perchè debbano dare una cosa del genere, io studio un anno, e poi vengo bocciato perchè non so fare un confronto, non perchè non abbia studiato, che colpa ne ho...si può ripetere all'infinito un esame?
A parte il mio sfogo personale, non capisco come ad un esame io debba capire che quel limite lo possa scrivere con quel numeratore, non ci sarei mai arrivato e svolgendo il quadrato non mi ritrovo al numeratore di partenza, non so come muovermi con queste funzioni.
Non c'è un modo più semplice per risolvere quel limite?
[tex](|x|+y^2)^2-2|x|y^2[/tex]
Ora io sono [tex]-\infty[/tex] in matematica
però ad un esame non capisco perchè debbano dare una cosa del genere, io studio un anno, e poi vengo bocciato perchè non so fare un confronto, non perchè non abbia studiato, che colpa ne ho...si può ripetere all'infinito un esame? A parte il mio sfogo personale, non capisco come ad un esame io debba capire che quel limite lo possa scrivere con quel numeratore, non ci sarei mai arrivato e svolgendo il quadrato non mi ritrovo al numeratore di partenza, non so come muovermi con queste funzioni.
Non c'è un modo più semplice per risolvere quel limite?
"Darèios89":
Mh....non riesco a seguire, non capisco questi confronti...e questi limiti....già l'inizio non mi è chiaro, al numeratore klarence
[tex](|x|+y^2)^2-2|x|y^2[/tex]
A parte il mio sfogo personale, non capisco come ad un esame io debba capire che quel limite lo possa scrivere con quel numeratore, non ci sarei mai arrivato e svolgendo il quadrato non mi ritrovo al numeratore di partenza, non so come muovermi con queste funzioni.
Non c'è un modo più semplice per risolvere quel limite?
Nota che il numeratore è ''quasi'' il denominatore al quadrato... quindi aggiungendo e togliendo qualcosa puoi semplificare molto il limite.
Svolgendo $(|x|+y^2)^2-2|x|y^2= |x|^2+y^4+2|x|y^2-2|x|y^2=|x|^2+y^4=x^2+y^4$ quest'ultima uguaglianza vale perchè $x^2=|x|^2$ quindi ottieni il numeratore di partenza...
Si, va bene, ma non ho capito il passaggio dopo, hai il numeratore dove hai una differenza, e isoli il primo termine, come hai fatto scusa.
[tex](|x|+y^2)[/tex] hai tolto il quadrato fuori dalla partentesi e lo hai scritto da solo, senza un denominatore, non capisco perchè..
[tex](|x|+y^2)[/tex] hai tolto il quadrato fuori dalla partentesi e lo hai scritto da solo, senza un denominatore, non capisco perchè..
"Darèios89":
Si, va bene, ma non ho capito il passaggio dopo, hai il numeratore dove hai una differenza, e isoli il primo termine, come hai fatto scusa.
[tex](|x|+y^2)[/tex] hai tolto il quadrato fuori dalla partentesi e lo hai scritto da solo, senza un denominatore, non capisco perchè..
[tex](|x|+y^2)^2/(|x|+y^2)=|x|+y^2[/tex] è come se avessi $a^2/a=a$
"Darèios89":
Si, va bene, ma non ho capito il passaggio dopo, hai il numeratore dove hai una differenza, e isoli il primo termine, come hai fatto scusa.
[tex](|x|+y^2)[/tex] hai tolto il quadrato fuori dalla partentesi e lo hai scritto da solo, senza un denominatore, non capisco perchè..
A scoppio ritardato, ho capito....continuo a leggere il resto....
"klarence":
$lim_(x,y-> 0,0) (x^2+y^4)/(|x|+y^2)=lim_(x,y->0,0) ( (|x|+y^2)^2 - 2|x|y^2 ) / (|x|+y^2) = lim_(x,y->0,0) (|x|+y^2) -(2|x|y^2) / (|x|+y^2) =lim_(x,y->0,0) (|x|+y^2) - lim_(x,y->0,0) (2|x|y^2) / (|x|+y^2)
Ora il primo limite è zero, il secondo applicando alcune maggiorazioni
$ 0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2y^2$ pertanto anche il secondo limite fa zero (se $(x,y)->(0,0)$ allora $2y^2->0$). Quindi anche se (0,0) non fa parte del dominio la funzione è comunque estendibile nell'origine per continuità.
L'ultimo confronto lo capisco e l'ho visto anche fare più volte ma non me lo spiego subito:
$0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2y^2$
Ora tu confronti con [tex]2y^2[/tex] ma perchè per dire non confronto con [tex]2|x|[/tex] che tende pure a 0 e potrei dire che converge?
Perchè lo si confronta con la y che tende a 0 e ci siamo sul funzionamente del teorema dei carabinieri, ma non avrei potuto confrontarlo con [tex]2|x|[/tex] ottenendo sempre la convergenza?
"Darèios89":
$0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2y^2$
Ora tu confronti con [tex]2y^2[/tex] ma perchè per dire non confronto con [tex]2|x|[/tex] che tende pure a 0 e potrei dire che converge?
Perchè lo si confronta con la y che tende a 0 e ci siamo sul funzionamente del teorema dei carabinieri, ma non avrei potuto confrontarlo con [tex]2|x|[/tex] ottenendo sempre la convergenza?
Cioè tu intendi questo?
$0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / y^2 <= 2|x|$
Se intendi fare quelle maggiorazioni per poi ottenere $2|x|$ allora si, puoi farlo.
Io intendevo il tuo in questo modo:
$0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2|x|$
Potrei farlo?
$0<= (2|x|y^2) / (|x|+y^2) <= (2|x|y^2) / |x| <= 2|x|$
Potrei farlo?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo