Dal Rudin: iniettività di una funzione
Buongiorno a tutti.
Esercizio. Sia $g:RR to RR$ una funzione reale definita su tutto $RR$, con derivata limitata: $|g'|<=M$. Fissato $epsilon>0$, definiamo $f(x)=x+epsilong(x)$. Si provi che, se $epsilon$ è sufficientemente piccolo, $f(x)$ è iniettiva.
Mi pare un bell'esercizio (come da titolo, è tratto dal Rudin), anche se non so dire di che livello di difficoltà. Io ci ho pensato un po' lungo tutta la mattinata e devo dire di aver cavato ben poco.
La prima cosa che ho fatto è stata osservare che $f'$ può assumere valori in un insieme superiormente limitato: infatti, $f(x)$ è continua e derivabile perchè somma di funzioni continue e derivabili (l'identità è banalmente $C^(oo)(RR)$) e quindi $f'(x)=1+epsilong'(x)<=1+epsilon|g'(x)|<=1+epsilonM=:K$ dunque $f'(x)<=K$. Ma - ammesso che quanto fatto finora sia corretto - non so che farmene di questo fatto.
Così ho cambiato strada e ho cominciato a supporre $f(x_1)=f(x_2)$ cercando di capire cosa potevo dire su $x_1$ e $x_2$.
Se $x_1!=x_2$, con un po' di conti si trova $epsilon((g(x_2)-g(x_1))/(x_2-x_1))=-1$.
E d'accordo, quello tra parentesi è un rapporto incrementale... Potrei (?) applicare Lagrange in $[x_1, x_2]$ e poi sfruttare la limitatezza di $g'$ che ho per ipotesi: in questo modo, $-1= epsilon((g(x_2)-g(x_1))/(x_2-x_1))=epsilon g'(a)<=epsilonM$ (con $a in [x_1, x_2]$) da cui $-1<=epsilonM$, che non vuol dire nulla.
Ci deve essere (anzi, c'è sicuramente) una falla nel mio ragionamento, ma non so dove.
Mi date una mano per piacere? Vi ringrazio in anticipo per le vostre illuminazioni.
Esercizio. Sia $g:RR to RR$ una funzione reale definita su tutto $RR$, con derivata limitata: $|g'|<=M$. Fissato $epsilon>0$, definiamo $f(x)=x+epsilong(x)$. Si provi che, se $epsilon$ è sufficientemente piccolo, $f(x)$ è iniettiva.
Mi pare un bell'esercizio (come da titolo, è tratto dal Rudin), anche se non so dire di che livello di difficoltà. Io ci ho pensato un po' lungo tutta la mattinata e devo dire di aver cavato ben poco.
La prima cosa che ho fatto è stata osservare che $f'$ può assumere valori in un insieme superiormente limitato: infatti, $f(x)$ è continua e derivabile perchè somma di funzioni continue e derivabili (l'identità è banalmente $C^(oo)(RR)$) e quindi $f'(x)=1+epsilong'(x)<=1+epsilon|g'(x)|<=1+epsilonM=:K$ dunque $f'(x)<=K$. Ma - ammesso che quanto fatto finora sia corretto - non so che farmene di questo fatto.
Così ho cambiato strada e ho cominciato a supporre $f(x_1)=f(x_2)$ cercando di capire cosa potevo dire su $x_1$ e $x_2$.
Se $x_1!=x_2$, con un po' di conti si trova $epsilon((g(x_2)-g(x_1))/(x_2-x_1))=-1$.
E d'accordo, quello tra parentesi è un rapporto incrementale... Potrei (?) applicare Lagrange in $[x_1, x_2]$ e poi sfruttare la limitatezza di $g'$ che ho per ipotesi: in questo modo, $-1= epsilon((g(x_2)-g(x_1))/(x_2-x_1))=epsilon g'(a)<=epsilonM$ (con $a in [x_1, x_2]$) da cui $-1<=epsilonM$, che non vuol dire nulla.
Ci deve essere (anzi, c'è sicuramente) una falla nel mio ragionamento, ma non so dove.
Mi date una mano per piacere? Vi ringrazio in anticipo per le vostre illuminazioni.
Risposte
Se $\epsilon > 0$ è tale che $\epsilon M < \frac{1}{2}$, avrai che $\frac{1}{2} < f' < \frac{3}{2}$.
Edit: non avevo letto la seconda parte del tuo post.
Puoi anche ragionare sul rapporto incrementale di $g$ e ricordarti la proprietà di Darboux delle derivate.
Edit: non avevo letto la seconda parte del tuo post.
Puoi anche ragionare sul rapporto incrementale di $g$ e ricordarti la proprietà di Darboux delle derivate.
Rigel, scusa ma come fai a dire $f'>1/2$?
Grazie mille della risposta.
Edit: ah, ok, Darboux. Ci penso. Grazie ancora.
Grazie mille della risposta.
Edit: ah, ok, Darboux. Ci penso. Grazie ancora.
Perché è assurdo? $-1<=epsilon M$: a sinistra c'è un numero negativo a destra un numero positivo. Vero.
Dai che ci sei quasi. Non ti scordare il valore assoluto.
Dai che ci sei quasi. Non ti scordare il valore assoluto.
"dissonance":
Perché è assurdo? $-1<=epsilon M$: a sinistra c'è un numero negativo a destra un numero positivo. Vero.
Sì, dissonance, hai perfettamente ragione, appena mi sono accorto ho corretto (non so neanche io perchè avevo scritto assurdo). Il punto è che pensavo non volesse dire nulla quella condizione, essendo sempre verificata.
Forse ora ci sono, quello che mi fregava era il valore assoluto.
Vogliamo provare che $f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2$. Per assurdo, supponiamo sia $x_1!=x_2$. Abbiamo $x_1+epsilong(x_1)=x_2+epsilong(x_2)$ da cui (dividendo per $x_1-x_2$, il che è lecito) $epsilon((g(x_1)-g(x_2))/(x_1-x_2))=-1$.
Per Lagrange, esiste un $a in [x_1,x_2]$ tale che $(g(x_1)-g(x_2))/(x_1-x_2)=g'(a)$. Quindi abbiamo $epsilong'(a)=-1$ da cui - prendendo i valori assoluti - si ricava $|epsilong'(a)|=1$.
Da qui è facile concludere: $1=epsilon|g'(a)|<=epsilonM$. A patto di scegliere $epsilon<1/M$, la precedente disuguaglianza diventa falsa. Dunque, se $0
Che dite, può andare?
GRAZIE.
Esatto.
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