Da R a R2

[Sbonfone]

Ciao ragazzi! Potrà sembrarvi una domanda stupida (e sicuramente lo sarà) ma avrei bisogno di un chiarimento: abbiamo appena iniziato con Analisi 2 e non capisco bene che differenza corre tra R e R2: gli assi cartesiani sono sempre x e y, un punto è sempre definito come coppia di (x,y), l'unica differenza che ho potuto capire è stata che i vettori sono "contenuti" in R2 e quindi R2 potrebbe essere considerato una sorta di "campo vettoriale" (dobbiamo ancora iniziare il corso di geometria, perdonate definizioni poco corrette). La differenza tra R2 e R3 è chiarissima: un asse in più, una "direzione" in più e tre incognite x,y e z. Vi ringrazio per i chiarimenti.

[gugo82]

Guarda che \(\mathbb{R}\) lo rappresenti su una retta, non su un piano.

[Emar1]

"Sbonfone":non capisco bene che differenza corre tra R e R2: gli assi cartesiani sono sempre x e y, un punto è sempre definito come coppia di (x,y)

Da questa frase credo di capire che parte del tuo dubbio riguardi il concetto di "grafico". In Analisi 1 tu hai lavorato con funzioni $RR \supseteq D \to RR$, ovvero che ad ogni punto $x \in D$ associavano un punto $y \in RR$. Sia il dominio che il codominio quindi erano spazi unidimensionali. Uno spazio unidimensionale si rappresenta graficamente con un solo asse.
Tu però, nella tua mente quando pensi a $f(x)$ pensi ad un grafico con 2 assi, $x$ e $y$. Il fatto è questo: per mostrare la correlazione tra i due insiemi monodimensionali (dominio e codominio) si utilizza un grafico bidimensionale "con due assi" su ognuno dei quali rappresenti un insieme. Ecco spiegato il mistero. Riformulando in termini più matematici il grafico di una funzione $RR \supseteq D \to RR$ "vive" in uno spazio $RR^2$.

In Analisi 2, studiando le funzioni $RR^2 \supseteq \Omega \to RR$ il dominio è un sottoinsieme di $RR^2$ e quindi uno spazio bidimensionale e il codomino è sempre un sottoinsieme di $RR$. Il grafico quindi sarà ambientato in $RR^3$.

In generale se $f:RR^n \supseteq \Omega \to RR^m$ il grafico sarà un sottoinsieme di $RR^(n+m)$.


Certamente $RR^2$ è uno spazio vettoriale. In generale tutti gli spazi $RR^n$ sono spazi vettoriali euclidei i cui elementi si chiamano vettori o punti.

EDIT Più di così è difficile dirti, dato che hai le idee un po' confuse e sei all'inizio del tuo percorso. Segui il corso di Analisi 2 e Geometria e vedrai che chiarificherai i tuoi dubbi.