Da parte reale a funzione olomorfa di partenza

[Drake_89]

Salve. Spero di ricevere un aiuto riguardo questo esercizio:

Si determini una funzione olomorfa in C che abbia come parte reale la funzione:

$ u(x,y) = e^(-x-1)cosy $

Suppongo di dover usare le condizioni di Cauchy-Riemann ma non so di preciso come.
Quel che riesco a dire è che date le condizioni di Cauchy-Riemann:

1) $ \frac {du}{dx} = \frac {dv}{dy} $
2) $ \frac {dv}{dx} = -\frac {du}{dy} $

Ho che $ \frac {du}{dx} = -cosy*e^(-x-1) $ da cui $ \frac {dv}{dy} = -cosy*e^(-x-1) $
E che $ \frac {du}{dy} = -seny*e^(-x-1) $ da cui $ \frac {dv}{dx} = seny*e^(-x-1) $

Non so se sia la strada giusta, ma l'esercizio di sicuro non è finito.. help

[Paolo902]

E' il cosiddetto problema dell'armonica coniugata.

Come hai giustamente scritto, stai cercando una funzione $v(x,y)$ sufficientemente regolare t.c.
\[
\begin{cases} \frac{\partial v}{\partial y} = -\cos{y}\cdot e^{-x-1} \\
\frac{\partial v}{\partial x} = \sin{y}\cdot e^{-x-1}
\end{cases}
\]

Di solito per queste cose qui si può andare un po' ad "occhio". Infatti, dalla prima equazione ricavi che \( v(x,y)=-\sin{y} \cdot e^{-x-1} + c(x) \), per una qualche funzione $c(\cdot)$. Sostituendo nella seconda
\[
\sin{y}e^{-x-1} + c^{\prime}(x) = \sin{y}\cdot e^{-x-1}
\]
da cui vedi che si può prendere \( c(x) \equiv c \). Di conseguenza, le funzioni della forma \( v(x,y)=-\sin{y}\cdot e^{-x-1} + c\), con $c \in \RR$, risolvono il tuo problema. La presenza di una costante additiva non deve spaventare e, anzi, non dovrebbe sorprenderti (alla fine stiamo solo trovando un potenziale di una certa forma differenziale - esatta - quindi tutto torna). Spero sia un po' più chiaro.

[Drake_89]

Sinceramente non molto. Perché sei andato a considerare solo le derivate della parte immaginaria?
Poi cosa hai fatto, hai integrato? $ \frac {dv}{dy} $

[Paolo902]

Scusami, ma ti è chiaro il problema? Abbiamo $u$, cerchiamo $v$ tale che $F=u+iv$ sia olomorfa. Fin qui ok?

Che cosa facciamo? Dobbiamo fare in modo che per $F$ valgano le CR; quindi imponiamo $u_x = v_y$ e $u_y = -v_x$. In queste due uguaglianze, i primi membri sono noti ($u$ è data!), i secondi membri no. Allora è un sistema di pde che si risolve abbastanza facilmente come ti ho indicato sopra.

[Drake_89]

Non ho capito come hai risolto il sistema.

[Paolo902]

1. Scegli una delle due equazioni, e.g. la prima;
2. la integri, tenendo fissa la $x$ (cioè considerandola un parametro reale); in particolare, la "costante additiva di integrazione" non è una costante tout-court, ma dipende da $x$ (infatti, se derivi rispetto a $y$ una funzione del tipo $c(x)$ ottieni zero);
3. sostituisci la primitiva appena trovata nella seconda equazione al fine di ricavare informazioni su come deve essere fatta questa "costante" (in particolare, si trova che questa funzione $c(x)$ è costante anche in $x$, in quanto ha derivata nulla).
4. Fine.

Ribadisco che la cosa comunque si può vedere ad "occhio" (basta che ragioni un attimo su quello che hai davanti).

[gugo82]

@ Drake_89: Praticamente, si usa la stessa tecnica che usi quando determini una primitiva di una forma differenziale lineare di due variabili.

[Paolo902]

"gugo82":@ Drake_89: Praticamente, si usa la stessa tecnica che usi quando determini una primitiva di una forma differenziale lineare di due variabili.

... proprio perché, come accennavo sopra, è esattamente quello che stiamo facendo (in particolare, stiamo cercando una primitiva di $\omega = u_y dx - u_x dy$, che è esatta in $\mathbb R^2$).

[gugo82]

"Paolo90":[quote="gugo82"]@ Drake_89: Praticamente, si usa la stessa tecnica che usi quando determini una primitiva di una forma differenziale lineare di due variabili.

... proprio perché, come accennavo sopra, è esattamente quello che stiamo facendo (in particolare, stiamo cercando una primitiva di $\omega = u_y dx - u_x dy$, che è esatta in $\mathbb R^2$).[/quote]
E certo!