$ D(A nn B) = D(A) nn D(B) $
Ciao a tutti.. sto studiando analisi I
Definisco D(A) come l'insieme dei punti di acc. per A
vorrei sapere se è vero che
$ D(A nn B) = D(A) nn D(B) $
stessa cosa per l'unione,
generalizzando a unione e intersezione finita o infinita di insiemi.
Io l'ho dimostrato (facendo vedere la doppia inclusione) e l'ho usato per risolvere degli esercizi, e mi sembra anche abbastanza ovvio che sia vero, ma non l'ho trovato scritto da nessuna parte...
Grazie per le risposte!
Definisco D(A) come l'insieme dei punti di acc. per A
vorrei sapere se è vero che
$ D(A nn B) = D(A) nn D(B) $
stessa cosa per l'unione,
generalizzando a unione e intersezione finita o infinita di insiemi.
Io l'ho dimostrato (facendo vedere la doppia inclusione) e l'ho usato per risolvere degli esercizi, e mi sembra anche abbastanza ovvio che sia vero, ma non l'ho trovato scritto da nessuna parte...
Grazie per le risposte!
Risposte
Eh ma infatti è falso, purtroppo. Prendi $A=[-1, 0), B=(0, 1]$.
Hai ragione.. grazie...
ci sono altri tipi di controesempi oltre a quello tuo dell'intervallo "bucato"?
Perchè in tutti gli esempi che ho trovato io funzionava...
ad esempio funziona per
$ [0,1] nn QQ $
$ (4,6) uu {8} $
e altre situazioni carine..
mi dispiacerebbe buttarlo via così ;p
ci sono altri tipi di controesempi oltre a quello tuo dell'intervallo "bucato"?
Perchè in tutti gli esempi che ho trovato io funzionava...
ad esempio funziona per
$ [0,1] nn QQ $
$ (4,6) uu {8} $
e altre situazioni carine..
mi dispiacerebbe buttarlo via così ;p
Prendi $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
Hai che $A\cap B = \emptyset$, dunque $D(A\cap B) = \emptyset$.
D'altra parte $D(A) = D(B) = \mathbb{R}$.
Certo, se prendi insiemi che abbiano chiusura disgiunta difficilmente troverai controesempi.
Hai che $A\cap B = \emptyset$, dunque $D(A\cap B) = \emptyset$.
D'altra parte $D(A) = D(B) = \mathbb{R}$.
Certo, se prendi insiemi che abbiano chiusura disgiunta difficilmente troverai controesempi.
$ QQ $ e $[0,1]$ non hanno chiusura disgiunta eppure il teorema vale...
Vorrei sapere qual è il campo di applicabilità di quello che ho scritto io perchè, appunto, dagli esempi che ho trovato non mi sembra così ristretto...
Per "scartare" i controesempi che mi avete trovato voi mi basterebbe supporre
$ A nn B != O/ $
Vorrei sapere qual è il campo di applicabilità di quello che ho scritto io perchè, appunto, dagli esempi che ho trovato non mi sembra così ristretto...
Per "scartare" i controesempi che mi avete trovato voi mi basterebbe supporre
$ A nn B != O/ $
Pensavo nel tuo esempio fosse $A= [0,1]\cap\mathbb{Q}$, $B=$ l'altro.
Puoi costruire tutti i controesempi che vuoi. Non vuoi gli insiemi disgiunti?
Prendi $A = [0,1]\cup \mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$...
Puoi costruire tutti i controesempi che vuoi. Non vuoi gli insiemi disgiunti?
Prendi $A = [0,1]\cup \mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$...
Ok, mi arrendo...
volevo solo vedere se era vero anche in casi ristretti ma a quanto pare non lo è...
grazie a tutti! ciaoo
volevo solo vedere se era vero anche in casi ristretti ma a quanto pare non lo è...
grazie a tutti! ciaoo
scusate ho ripensato alla questione e mi è venuto in mente questo:
vale l'inclusione
$ D(A nn B) sube D(A) nn D(B) $
Perchè se $ x $ è di accumulazione per $ A nn B $ allora è di accumulazione per $ A $ perchè $ A nn B sube A $ e per $ B $ per motivazione analoga.
Mentre non vale l'altra inclusione
per l'unione vale invece l'altra inclusione e cioè
$ D(A uu B) supe D(A) uu D(B) $
per l'analoga della precedente dimostrazione,
cosa posso dire del contenimento $ sube $ per l'unione ?
vale l'inclusione
$ D(A nn B) sube D(A) nn D(B) $
Perchè se $ x $ è di accumulazione per $ A nn B $ allora è di accumulazione per $ A $ perchè $ A nn B sube A $ e per $ B $ per motivazione analoga.
Mentre non vale l'altra inclusione
per l'unione vale invece l'altra inclusione e cioè
$ D(A uu B) supe D(A) uu D(B) $
per l'analoga della precedente dimostrazione,
cosa posso dire del contenimento $ sube $ per l'unione ?
up
capisco che non sia un argomento molto eccitante... ma non c'è qualche anima buona che mi dà una risposta?
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