Da integrale doppio a integrale curvilineo

[Slevin89]

Salve ragazzi devo calcolare $\int int_D y^2 dx dy$, dove $ D = {(x, y) in R^2 | 1<=  x^2 + y^2<=  2}$ trasformando l’integrale doppio in un integrale di linea..
Non riesco a capire come fare ad applicare le formule di Gauss-Green :
$\int int_D f_x(x,y) dx dy= - int_(+delD) f dy$
$\int int_D f_y(x,y) dx dy= int_(+delD) f dx$
Come posso procedere?

[ciampax]

Devi determinare qual è la curva che rappresenta il bordo del tuo dominio $D$ (che è una corona circolare). Quale sarà la sua equazione?

[Slevin89]

L'equazione è $gamma(t)=(cost,sent) $ con $ t in [0,2pi]$
Quindi avrei:
$int_0^(2pi )-sen^3(t) dt$ ?

[ciampax]

Quella è la parametrizzazione (non l'equazione) di $x^2+y^2=1$. E l'altro pezzo del bordo?

[Slevin89]

E' $gamma(t)={ sqrt(2)cos(t),sqrt(2)sen(t) }$ con $t in [0,2pi]$ , quindi adesso cosa dovrei fare?

[ciampax]

Devi applicare correttamente il lemma di Green. Osserva che $\partial D=\partial D_1\cup\partial D_{\sqrt{2}}$ (l'unione di quei due bordi. Il lemma di Green ti dice allora che, affinché tu percorra $\partial D$ nel verso positivo (senso orario) dovrai andare in un senso sulla circonferenza esterna e nell'altro su quella interna. Pertanto, se usi ad esempio la prima formula, ottieni

$\int\int_D f_x\ dx\ dy=-\int_{+\partial D_2} f\ dy-\int_{-\partial D_2} f\ dy=-\int_{+\partial D_2} f\ dy+\int_{+\partial D_2} f\ dy$