Da equazione parametrica a cartesiana

[guybrush1989]

Salve, ho un esercizio in cui, data una curva regolare, semplice e non chiusa (cose che ho dovuto verificare) di equazioni parametriche $(1+2cos(t),sin(t)), t in[0;pi]$, mi viene chiesta l'equazione della curva $cartesiana$.
Ora, nel caso di equazioni parametriche diciamo "note", come una circonferenza, un'ellisse etc non ho problemi, ma per una curva "non nota"?
Vi ringrazio per l'aiuto

[dissonance]

Ma quella curva è "nota" . Prova a scriverla così:

$(1, 0)+(2cos(t), sin(t)),\ t\in[0, pi]$.

vedi come si ottiene dalla $(2cos(t), sin(t))$ traslando di vettore $(1, 0)$.

[alle.fabbri]

Parti da
$\{(x = 1 + 2 cos t),(y = sin t):}$
che riscrivi come
$\{((x - 1)/(2) = cos t),(y = sin t):}$
poi quadri e sommi e ottieni la tua curva in forma cartesiana e implicita, occhio poi che devi prendere solo il pezzo per $t \in [0 , \pi]$

[qwert90]

scusate se mi intrometto nella discussione ma mi interessa...
per alle.fabbri: in che senso occhio poi che devi prendere solo il pezzo per t∈[0,π] ??
cioè dopo aver quadrato e sommato bisogna trovare sostituire qualcosa nella nuova espreessione ??
grazie

[alle.fabbri]

Intendevo dire che per $t \in [0, \pi]$ la parametrizzazione di cui sopra spazza solo la parte di curva con $y>0$.

[guybrush1989]

grazie per avermi risposto..volevo chiedere, come mai, dopo aver fatto il sistema, devo quadrare e sommare? si fa così in ogni caso?

[alle.fabbri]

No, dipende da caso a caso. L'idea è che tu hai un sistema di due equazioni (questo chiaramente nel piano) in cui compaiono $x,y,t$, per ottenere la traiettoria, cioè l'equazione cartesiana, devi eliminare il parametro da queste due. Nel caso in cui ci siano seni e coseni quella di quadrare e sommare è un buon metodo perchè usando la relazione fondamentale della trigonometria riesci a "far sparire" il parametro $t$.
Se anche solo prendi due funzioni trigonometriche con frequenza differente, ad esempio
$\{ (x=\sin t),(y = \cos 2t) :}$
il giochino del quadrare e sommare non funziona più....

[guybrush1989]

"alle.fabbri":No, dipende da caso a caso. L'idea è che tu hai un sistema di due equazioni (questo chiaramente nel piano) in cui compaiono $x,y,t$, per ottenere la traiettoria, cioè l'equazione cartesiana, devi eliminare il parametro da queste due. Nel caso in cui ci siano seni e coseni quella di quadrare e sommare è un buon metodo perchè usando la relazione fondamentale della trigonometria riesci a "far sparire" il parametro $t$.
Se anche solo prendi due funzioni trigonometriche con frequenza differente, ad esempio
$\{ (x=\sin t),(y = \cos 2t) :}$
il giochino del quadrare e sommare non funziona più....

ok, grazie, molto gentile

[alle.fabbri]

Prego, figurati!!!!

[Socrate89]

scusate se mi intrometto... qualcuno mi potrebbe aiutare con questa?
(stesso esercizio)

$ (sen(t) + cos(t) ; 1 - sen(t) ) $

grazie in anticipo!!