Da dove derivano queste disuguaglianze?

[maryenn1]

Ciao a tutti qualcuno potrebbe spiegarmi perchè sono vere queste disuguaglianze?
1) $| ∫_(x_o)^(x) |f(t,y_o)|dt|<= M |x-x_0|$
dove $f$ è una funzione definita e continua su un intervallo $[ a,b]-> R$ e $M=max|f(x,y_o)|$ su $[ a,b]$
2)$| ∫_(x_o)^(x) |f(t,y_1(t))-f(t,y_0)|dt|<= | ∫_(x_o)^(x) L|(y_1(t)-y_o)|dt|<=| ∫_(x_o)^(x) ML (t-x_0)dt|$
dove$L$ è la costante di Lipschitz.

[InfiniteJest]

Ciao,
Per il punto 1 procedi semplicemente maggiorando il modulo della tua funzione di partenza con il suo massimo. Ovviamente una generica f é sempre minore del suo massimo valore sul dominio. A questo punto l'integrale non dipende da M quindi non fai che risolvere l'integrale da x0 a x in dt, ottenendo la conclusione.

Per il punto 2 procedi applicando la definizione di lipschitzianitá. In formule é esattamente quello che ti appare nel testo, concettualmente indica che la derivata prima della tua funzione é limitata. Per l'ultimo passaggio dubito l'integrale sopravviva, dovrebbe essere solo un'applicazione della disuguaglianza 1).

Ciao

[maryenn1]

è proprio l'ultimo passaggio che non riesco a capire,perchè l'integrale resta?

[InfiniteJest]

Se non é una riapplicazione della prima uguaglianza, allora stiamo solo risfruttando la lipschitzianitá dove per costante di Lipschitz usi semplicemente il massimo della funzione (meno intuitivo ma lecitissimo).
Saluti