Da dove deriva la formula di taylor?
La spiegazione mi è chiara ma fino ad un gerto punto,so che approssimando una funzione con l ordinata di un punto di ascissa $x$ giacente sulla tangente al grafico della funzione in un punto $P(x0,f(x0))$ si commette un errore $E$ ma come si fa a determinare l'entità di questo errore ovvero come si fa a dire che (parole testuali):"data f(x) derivabile in $(a,b)$ e dotata di derivata seconda in un punto $x0$ apparentente all'intervallo $E=f(x)-[f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+(f''(x0))/2*(x-x0)^2]$ ?
Grazie in anticipo per le risposte.Basta anche una spiegazione teorica del concetto in quanto ho segnato i procedimenti.
Grazie in anticipo per le risposte.Basta anche una spiegazione teorica del concetto in quanto ho segnato i procedimenti.
Risposte
Io la vedo così. Taylor e il suo amico McLaurin, dopo aver sbattuto la testa per un pò, sono riusciti a ricavare una formula generale, la prima centrata in un punto qualsiasi, la seconda in 0, la quale permetteva di approssimare dignitosamente l'andamento di una funzione nei suddetti punti. I rispettivi polinomi, però, non aderiscono perfettamente alla funzione, nonostante si consideri un intorno molto piccolo del punto che interessa, e dunque, esiste sempre un margine di errore derivante da tale approssimazione. Se però facciamo il limite per x che tende a tali punti di $(f(x)-T_n)/(x-x_0)^n$, notiamo che tale limite, dopo opportuni calcoli viene 0, e questo significa che l'errore, cioè $f(x)-T_n$, dove $T_n$ è il polinomio di Taylor (o McLaurin), è trascurabile rispetto all'approssimazione. Tutto qua.
Sinceramente non so quale sia il percorso che abbia fatto Taylor. Però sicuramente un modo intuitivo per cominciare è, come hai giustamente ricordato tu, l'approssimazione del grafico della funzione nell'intorno di un punto alla sua retta tangente nel punto. E qui si potrebbe fare anche un discorso sulla linearizzazione, sulla differenziabilità.
Ma aldilà di questo, quello che si vuol ottenere è un'approssimazione migliore di quella: ad esempio tramite polinomi, che sono funzioni facilmente gestibili. Se hai studiato i polinomi, saprai che essi sono determinati quando si conosce il suo valore e il valore delle sue derivate n-esime in un punto $x_0$.
Allora, si costruisce un polinomio le cui derivate in un punto $x_0$ (detto centro) siano le derivate della funzione.
Si è creato così il polinomio di Taylor.
Ora però si vuole sapere se effettivamente quest'approssimazione ha senso. Cioè, è veramente un'approssimazione o stiamo solo buttando polinomi a caso?
Allora, per stimare quanto è "buona" la nostra approssimazione si considera la differenza tra la funzione e il polinomio (questa differenza è detta resto), che è quella che hai scritto tu. Da qui si considera il limite e si vede, ecc. Il resto della storia lo sai.
Non è che devi dimostrare quindi che l'errore è dato da quella formula: quello lo hai per costruzione. Tu consideri la differenza (errore, resto chiamalo come vuoi) e vuoi stimare quanto è grande. Allora dimostri che tale resto, quando $x \to x_0$ tende a zero "molto più velocemente" della differenza $(x-x_0)^n$ (addirittura di n volte la differenza tra variabile indipendente e centro!) (1). Ovviamente va molto più formalmente rispetto a come lo sto dicendo io
Inoltre, si dimostra che il polinomio che rispetta la proprietà (1) è unico.
Ma aldilà di questo, quello che si vuol ottenere è un'approssimazione migliore di quella: ad esempio tramite polinomi, che sono funzioni facilmente gestibili. Se hai studiato i polinomi, saprai che essi sono determinati quando si conosce il suo valore e il valore delle sue derivate n-esime in un punto $x_0$.
Allora, si costruisce un polinomio le cui derivate in un punto $x_0$ (detto centro) siano le derivate della funzione.
Si è creato così il polinomio di Taylor.
Ora però si vuole sapere se effettivamente quest'approssimazione ha senso. Cioè, è veramente un'approssimazione o stiamo solo buttando polinomi a caso?
Allora, per stimare quanto è "buona" la nostra approssimazione si considera la differenza tra la funzione e il polinomio (questa differenza è detta resto), che è quella che hai scritto tu. Da qui si considera il limite e si vede, ecc. Il resto della storia lo sai.
Non è che devi dimostrare quindi che l'errore è dato da quella formula: quello lo hai per costruzione. Tu consideri la differenza (errore, resto chiamalo come vuoi) e vuoi stimare quanto è grande. Allora dimostri che tale resto, quando $x \to x_0$ tende a zero "molto più velocemente" della differenza $(x-x_0)^n$ (addirittura di n volte la differenza tra variabile indipendente e centro!) (1). Ovviamente va molto più formalmente rispetto a come lo sto dicendo io
Inoltre, si dimostra che il polinomio che rispetta la proprietà (1) è unico.
Grazie mille 
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