Cuspide
Data una funzione con minimo relativo in x0 e convessa a destra e concava a sinistra del punto. Il punto può essere considerato una cuspide?
Risposte
Ciao, mmattiak.
Potrei anche sbagliarmi, ma una cuspide che costituisca un punto di minimo relativo di una funzione, almeno ragionando da un punto di vista puramente grafico, non dovrebbe poter presupporre un andamento concavo a sinistra del punto con un contemporaneo andamento convesso a destra.
Se in un punto di ascissa $x_0$ si avesse una cuspide, direi che la funzione dovrebbe essere concava sia a sinistra che a destra.
Non riuscirei proprio ad immaginare un altro tipo di possibilità, almeno sottointendendo, per lo meno, la continuità della funzione nelle immediate vicinanze del punto in questione.
Saluti.
Potrei anche sbagliarmi, ma una cuspide che costituisca un punto di minimo relativo di una funzione, almeno ragionando da un punto di vista puramente grafico, non dovrebbe poter presupporre un andamento concavo a sinistra del punto con un contemporaneo andamento convesso a destra.
Se in un punto di ascissa $x_0$ si avesse una cuspide, direi che la funzione dovrebbe essere concava sia a sinistra che a destra.
Non riuscirei proprio ad immaginare un altro tipo di possibilità, almeno sottointendendo, per lo meno, la continuità della funzione nelle immediate vicinanze del punto in questione.
Saluti.
Questa potrebbe andare?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Chiedo scusa, axpgn, ma il tuo esempio grafico non riporta un punto di cuspide, bensì un punto angoloso.
Nel punto di cuspide le due tangenti alla curva immediatamente a sinistra e a destra del punto stesso dovrebbero entrambe tendere a "verticalizzarsi".
Saluti cordiali.
Nel punto di cuspide le due tangenti alla curva immediatamente a sinistra e a destra del punto stesso dovrebbero entrambe tendere a "verticalizzarsi".
Saluti cordiali.
Allora non va! 
Come ha già detto alessandro le tangenti tendono a verticalizzarsi e in termini matematici le derivate destra e sinistra in quel punto devono valere $+infty$ e $-infty$ oppure $-infty$ e $+infty$
se fossero ambedue a destra e sinistra pari a $+infty$ o $-infty$ avremmo un flesso a tangente verticale.
Per rispondere alla domanda, un punto come quello da te descritto è un punto angoloso senza dubbio.
Capita però soprattutto in ingegneria che alcuni professori chiamino un punto angoloso impropriamente come "cuspide" da qui possono sorgere i malintesi; tuttavia dal rigore della definizione matematica non si scappa
se fossero ambedue a destra e sinistra pari a $+infty$ o $-infty$ avremmo un flesso a tangente verticale.
Per rispondere alla domanda, un punto come quello da te descritto è un punto angoloso senza dubbio.
Capita però soprattutto in ingegneria che alcuni professori chiamino un punto angoloso impropriamente come "cuspide" da qui possono sorgere i malintesi; tuttavia dal rigore della definizione matematica non si scappa
Ma si, sono definizioni da liceo. Questa classificazione delle singolarità (cuspidi, punti angolosi, discontinuità di prima, seconda, cinquantesima specie) è un arnese del passato che sta andando in disuso. Resiste nei licei, forse dovuto all'alta età media dei professori di matematica in Italia. Ma non altrove.
è vero, però arrivare all'università e scoprire che $1/x$ è una funzione continua è stato un colpo basso eheh^^ eppure al liceo la prof ci diceva sempre "discontinuità di seconda specie" xD
"dissonance":
Ma si, sono definizioni da liceo. Questa classificazione delle singolarità (cuspidi, punti angolosi, discontinuità di prima, seconda, cinquantesima specie) è un arnese del passato che sta andando in disuso. Resiste nei licei, forse dovuto all'alta età media dei professori di matematica in Italia. Ma non altrove.
Caro dissonance,
scrivo queste parole, non per polemizzare con te sulla infondatezza di quanto hai - pubblicamente - affermato nel tuo ultimo messaggio, ma unicamente per esigenza di fornire precisazioni da parte mia.
Premetto che non ho alcun interesse, al di fuori di una mera esigenza di chiarimento, nel confutare (o meno) affermazioni frutto di opinioni di chichessia e premetto anche che, personalmente, non mi offendo se, in qualità di docente di liceo scientifico non più molto giovane, io (assieme a tutti i miei colleghi delle varie scuole italiane) vengo indicato - senza fondamento alcuno - come causa del presunto arretramento dello stato dei licei, causa che sarebbe dovuta a trattazioni di argomentazioni matematiche tramite utilizzo di "arnesi del passato".
Volevo solo precisare che questi "arnesi del passato" fanno così parte del passato al punto tale che si utilizzano ancora anche in svariati corsi universitari di analisi, anche se non in tutti; è anche possibile reperire, in internet, molti siti dedicati a queste argomentazioni e non esclusivamente di provenienza italiana (si veda questo esempio, oppure si pensi alla loro applicazione nella teoria delle catastrofi).
Comunque, ritengo che un docente (anche un docente giovane e di prima nomina), per quanto abbia facoltà di non utilizzare questi "arnesi", o di utilizzarli in parte o di utilizzarli più superficialmente, abbia per lo meno il dovere professionale di far, almeno, presente agli studenti l'esistenza di questi "arnesi".
Per quello che mi riguarda continuerò, comunque, a fornire il mio modesto contributo nell'ambito di questo forum, se non altro per tentare di aiutare chi pone problemi di matematica.
Concludo facendo presente che i docenti, a prescindere dalla libertà di insegnamento, devono comunque attenersi a delle indicazioni ministeriali sui programmi, quindi incolpare i docenti dello stato attuale dei contenuti di un corso di matematica di liceo mi pare una cosa del tutto priva di senso.
Cordiali saluti.
"alessandro8":
Volevo solo precisare che questi "arnesi del passato" fanno così parte del passato al punto tale che si utilizzano ancora anche in svariati corsi universitari di analisi, anche se non in tutti; è anche possibile reperire, in internet, molti siti dedicati a queste argomentazioni e non esclusivamente di provenienza italiana (si veda questo esempio, oppure si pensi alla loro applicazione nella teoria delle catastrofi).
Dubito che qualcuno metta in dubbio la necessità di saper trattare le singolarità. Trovo tuttavia inutile se non controproducente costringere uno studente a ricordare di che specie sia un salto, fintantoché sa riconoscere la singolarità e sa cosa succede intorno alla stessa. Decisamente più grave è la confusione che viene generata riguardo alla già citata funzione \(x \mapsto \frac{1}{x}\), e più in generale il fatto che molte delle cosiddette "discontinuità di seconda specie" non siano affatto discontinuità, o il fatto che ci si ostini a confondere il dominio di una funzione col suo massimo dominio di definizione.
"Epimenide93":
Dubito che qualcuno metta in dubbio la necessità di saper trattare le singolarità. Trovo tuttavia inutile se non controproducente costringere uno studente a ricordare di che specie sia un salto, fintantoché sa riconoscere la singolarità e sa cosa succede intorno alla stessa. Decisamente più grave è la confusione che viene generata riguardo alla già citata funzione \( x \mapsto \frac{1}{x} \), e più in generale il fatto che molte delle cosiddette "discontinuità di seconda specie" non siano affatto discontinuità, o il fatto che ci si ostini a confondere il dominio di una funzione col suo massimo dominio di definizione.
Sono completamente d'accordo.
Saluti.
Non è stato molto felice il mio rimando all' "alta età media", di quello me ne scuso. Voleva essere una battuta relativa alla difficoltà di entrare nel mondo della scuola oggi, e al fatto che gli studenti più motivati sono di fatto obbligati ad andarsene all'estero e restarci. Fatto che tra l'altro avviene ampiamente anche nelle università, generando una chiusura del mondo scolastico e accademico italiano rispetto al dibattito scientifico internazionale.
Quando si discute con un collega non italiano, saremo d'accordo che non è certamente il caso di uscirsene con una "discontinuità di terza specie". L'interlocutore non capirebbe, ci sarebbe da spiegare nuovamente la terminologia, si perderebbe tempo e fatica inutilmente. Il fatto che ci sia una direttiva ministeriale in merito aiuterebbe poco. Solo una persona che non ha mai visto altro che il suo orticello puo' credere di usare una terminologia simile in una tale circostanza. Senza contare le giustissime argomentazioni di Epimenide93 che approvo in pieno: sono le riflessioni che ogni studente dotato di senso critico dovrebbe sviluppare.
Per concludere, e per tornare all' "età media": non ho alcuna pregiudiziale verso i docenti di età non verde. Al contrario, talvolta essi sono portatori di un livello culturale che è andato grandemente scendendo negli ultimi anni. Quindi non è davvero questione di età. E' invece questione di apertura mentale.
Quando si discute con un collega non italiano, saremo d'accordo che non è certamente il caso di uscirsene con una "discontinuità di terza specie". L'interlocutore non capirebbe, ci sarebbe da spiegare nuovamente la terminologia, si perderebbe tempo e fatica inutilmente. Il fatto che ci sia una direttiva ministeriale in merito aiuterebbe poco. Solo una persona che non ha mai visto altro che il suo orticello puo' credere di usare una terminologia simile in una tale circostanza. Senza contare le giustissime argomentazioni di Epimenide93 che approvo in pieno: sono le riflessioni che ogni studente dotato di senso critico dovrebbe sviluppare.
Per concludere, e per tornare all' "età media": non ho alcuna pregiudiziale verso i docenti di età non verde. Al contrario, talvolta essi sono portatori di un livello culturale che è andato grandemente scendendo negli ultimi anni. Quindi non è davvero questione di età. E' invece questione di apertura mentale.
"dissonance":
Non è stato molto felice il mio rimando all' "alta età media", di quello me ne scuso.
Nessun problema.
Cordiali saluti.
Volevo aggiungere che neanche nell'uso italiano esiste un'uniformità terminologica completa sulle specie di discontinuità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo