[ Curve ] - Versore tangente
Ciao ragazzi,, eccoci qui
posto qui perché non so se questo argomento si collochi in analisi o geometria...
ho iniziato a leggere qualcosa sulla geometria differenziale delle curve 3D in uno spazio euclideo
in particolare i concetti di curvatura e torsione ecc..
c'è un punto in cui il libro, diciamo (da per scontato), salta alcuni passaggi e definisce il versore unitario tangente $hat T$
in funzione dell'ascissa curvilinea:
$hat T(s) = (dvec(r)(s))/(ds)$
non mi è chiara questa definizione... cioè mi è chiara la definizione in funzione del tempo:
$hat T(t) = ((dvec(r)(t))/(dt) )/( ||( (dvec(r)(t))/(dt) )||) = (vec(v)(t)) / ( || (vec(v)(t)) || )$
in cui divide la velocità per il modulo ed ottiene il versore tangente..
ma quando definisce lo stesso vettore nella cosiddetta parametrizzazione "intrinseca", in funzione di $s$
ho qualche dubbio...
cita anche il fatto generale che la velocità quando la curva è data rispetto ad $s$ ha velocità unitaria
$ds = vec(v)(s)ds$
cioè qual è la relazione con la definizione rispetto a $t$ ?????
posto qui perché non so se questo argomento si collochi in analisi o geometria...
ho iniziato a leggere qualcosa sulla geometria differenziale delle curve 3D in uno spazio euclideo
in particolare i concetti di curvatura e torsione ecc..
c'è un punto in cui il libro, diciamo (da per scontato), salta alcuni passaggi e definisce il versore unitario tangente $hat T$
in funzione dell'ascissa curvilinea:
$hat T(s) = (dvec(r)(s))/(ds)$
non mi è chiara questa definizione... cioè mi è chiara la definizione in funzione del tempo:
$hat T(t) = ((dvec(r)(t))/(dt) )/( ||( (dvec(r)(t))/(dt) )||) = (vec(v)(t)) / ( || (vec(v)(t)) || )$
in cui divide la velocità per il modulo ed ottiene il versore tangente..
ma quando definisce lo stesso vettore nella cosiddetta parametrizzazione "intrinseca", in funzione di $s$
ho qualche dubbio...
cita anche il fatto generale che la velocità quando la curva è data rispetto ad $s$ ha velocità unitaria
$ds = vec(v)(s)ds$
cioè qual è la relazione con la definizione rispetto a $t$ ?????
Risposte
Ciao, Giux.
Fissiamo alcuni punti per chiarire meglio le idee:
1) un versore, per definizione, è semplicemente un vettore avente lunghezza unitaria; dato un generico vettore $vec v$, per ottenere il versore $ hat u$ avente stessa direzione e stesso verso del vettore $vec v$, è sufficiente dividere $vec v$ stesso per la propria lunghezza (modulo, intensità) $v$:
$ hat u=(vec v)/v$
2) l'equazione di una curva in $RR^3$ è data da una legge del tipo: $vec (r(t))=(x(t),y(t),z(t))$; in cinematica il vettore $vec (r(t))$ rappresenterebbe l'equazione della legge oraria del moto di una particella ed il parametro $t$ sarebbe associabile al tempo; il vettore velocità istantanea $vec(v(t))$ si calcola derivando ciascuna componente di $vec (r(t))$ rispetto a $t$:
$vec(v(t))=(x'(t),y'(t),z'(t))$
Quest'ultimo vettore è sempre tangente alla curva della traiettoria.
Ora, se al posto di un generico parametro "tempo" $t$ si considerasse un altro parametro $s$ coincidente con la lunghezza del tragitto percorso lungo la curva, allora sarà evidente che, rispetto a $s$, il modulo della velocità istantanea sarà sempre unitario.
Esplicitamente:
considero la curva $vec (r(s))=(x(s),y(s),z(s))$, dove $s=int_{0}^{s}sqrt([x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2)*dt$
Si noti che: $s=$lunghezza dell'arco di curva per $t in [0,s]$
Sia $F(t)$ una primitiva della funzione integranda $sqrt([x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2)=v(t)$
Allora, essendo $s=F(s)-F(0)$, derivando entrambi i membri di quest'ultima relazione, avremo:
$1=F'(s)-0 Rightarrow v(s)=1$
Spero di aver dissipato i tuoi dubbi.
Saluti.
Fissiamo alcuni punti per chiarire meglio le idee:
1) un versore, per definizione, è semplicemente un vettore avente lunghezza unitaria; dato un generico vettore $vec v$, per ottenere il versore $ hat u$ avente stessa direzione e stesso verso del vettore $vec v$, è sufficiente dividere $vec v$ stesso per la propria lunghezza (modulo, intensità) $v$:
$ hat u=(vec v)/v$
2) l'equazione di una curva in $RR^3$ è data da una legge del tipo: $vec (r(t))=(x(t),y(t),z(t))$; in cinematica il vettore $vec (r(t))$ rappresenterebbe l'equazione della legge oraria del moto di una particella ed il parametro $t$ sarebbe associabile al tempo; il vettore velocità istantanea $vec(v(t))$ si calcola derivando ciascuna componente di $vec (r(t))$ rispetto a $t$:
$vec(v(t))=(x'(t),y'(t),z'(t))$
Quest'ultimo vettore è sempre tangente alla curva della traiettoria.
Ora, se al posto di un generico parametro "tempo" $t$ si considerasse un altro parametro $s$ coincidente con la lunghezza del tragitto percorso lungo la curva, allora sarà evidente che, rispetto a $s$, il modulo della velocità istantanea sarà sempre unitario.
Esplicitamente:
considero la curva $vec (r(s))=(x(s),y(s),z(s))$, dove $s=int_{0}^{s}sqrt([x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2)*dt$
Si noti che: $s=$lunghezza dell'arco di curva per $t in [0,s]$
Sia $F(t)$ una primitiva della funzione integranda $sqrt([x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2)=v(t)$
Allora, essendo $s=F(s)-F(0)$, derivando entrambi i membri di quest'ultima relazione, avremo:
$1=F'(s)-0 Rightarrow v(s)=1$
Spero di aver dissipato i tuoi dubbi.
Saluti.
ciao alessandro8,
una cosa sola non mi è chiara su $s$
il fatto che definisce il versore tangente così:
$ hat T(s) = (dvec(r(s)))/(ds) $
una cosa sola non mi è chiara su $s$
il fatto che definisce il versore tangente così:
$ hat T(s) = (dvec(r(s)))/(ds) $
Ciao.
La proprietà che hai appena richiamato diventa automaticamente vera, perchè, data una legge oraria $vec (r(s))$, nell'ipotesi che $s$ sia il parametro corrispondente alla lunghezza del tratto di curva (v. mio messaggio precedente), hai che:
$(dvec(r(s)))/(ds) = vec(v(s))$ (velocità istantanea), che è un vettore comunque tangente alla curva, a prescindere dal parametro.
Il fatto che il parametro sia proprio quello sopra ricordato, garantisce che questo vettore tangente sia proprio un versore.
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
La proprietà che hai appena richiamato diventa automaticamente vera, perchè, data una legge oraria $vec (r(s))$, nell'ipotesi che $s$ sia il parametro corrispondente alla lunghezza del tratto di curva (v. mio messaggio precedente), hai che:
$(dvec(r(s)))/(ds) = vec(v(s))$ (velocità istantanea), che è un vettore comunque tangente alla curva, a prescindere dal parametro.
Il fatto che il parametro sia proprio quello sopra ricordato, garantisce che questo vettore tangente sia proprio un versore.
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
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