Curve, tipi di curve, dimostrazione
Salve a tutti. La professoressa ha introdotto le curve a fine lezione. Come esercizio ha detto di provare a dimostrare che una curva può essere chiusa e semplice. Ci ha poi fornito tale esempio da verificare:
Sia $\phi: I = [0,2\pi] \to \RR^2, t \to \vec \phi(t) = (rcost,rsint)$
Sappiamo che è regolare infatti le derivate di $rcost,rsint$ sono continue e so anche che
$\vec \phi(0) = \vec \phi (2\pi)= (r,0)$, dunque è verificato che essa la curva è chiusa. Fin qui non ho avuto problemi ovviamente.
Adesso, per la seconda richiesta, devo verificare che:
$\AA s,t \in ]0,2\pi[$ se $s \ne t$ allora si ha che $ \vec \phi (t) \ne \vec \phi (s) $
Non so come verificare quest'ultima richiesta, se qualcuno potesse darmi un aiuto gliene ne sarei assai grato
Sia $\phi: I = [0,2\pi] \to \RR^2, t \to \vec \phi(t) = (rcost,rsint)$
Sappiamo che è regolare infatti le derivate di $rcost,rsint$ sono continue e so anche che
$\vec \phi(0) = \vec \phi (2\pi)= (r,0)$, dunque è verificato che essa la curva è chiusa. Fin qui non ho avuto problemi ovviamente.
Adesso, per la seconda richiesta, devo verificare che:
$\AA s,t \in ]0,2\pi[$ se $s \ne t$ allora si ha che $ \vec \phi (t) \ne \vec \phi (s) $
Non so come verificare quest'ultima richiesta, se qualcuno potesse darmi un aiuto gliene ne sarei assai grato
Risposte
Ciao SteezyMenchi,
Beh sì, è una curva chiusa, è una circonferenza:
$ x^2 + y^2 = (r cos t)^2 + (r sin t)^2 = r^2 cos^2 t + r^2 sin^2 t = r^2 (cos^2 t + sin^2 t) = r^2 $
Beh sì, è una curva chiusa, è una circonferenza:
$ x^2 + y^2 = (r cos t)^2 + (r sin t)^2 = r^2 cos^2 t + r^2 sin^2 t = r^2 (cos^2 t + sin^2 t) = r^2 $
La semplicità è, in pratica, l'iniettività di $\phi$ nell'aperto $]0,2\pi[$; quindi la richiesta è equivalente a dedurre che $[\phi(t)=\phi(s)]\implies(t=s)$ in per $t,s \in ]0,2\pi[$.
Due coppie ordinate coincidono se e solo se le loro rispettive coordinate coincidono, quindi hai che:
$$[(r\cos t,r\sin t)=(r\cos s, r\sin s)] \iff [(r\cos t=r\cos s) \wedge (r\sin t=r\sin s)]$$
$$\iff [(\cos t=\cos s) \wedge (\sin t=\sin s)]$$
A questo punto devi risolvere le due equazioni trigonometriche e dedurre che $t=s$ in $]0,2\pi[$.
Due coppie ordinate coincidono se e solo se le loro rispettive coordinate coincidono, quindi hai che:
$$[(r\cos t,r\sin t)=(r\cos s, r\sin s)] \iff [(r\cos t=r\cos s) \wedge (r\sin t=r\sin s)]$$
$$\iff [(\cos t=\cos s) \wedge (\sin t=\sin s)]$$
A questo punto devi risolvere le due equazioni trigonometriche e dedurre che $t=s$ in $]0,2\pi[$.
"SteezyMenchi":
Non so come dimostrare quest'ultima definizione
Una definizione non si dimostra. Forse non sai come dimostrare quella affermazione.
Aspetta Mephlip, per risolvere quel sistema devo ragionare per esempio in questo modo:
posso distinguere a seconda dei casi (degli angoli per meglio dire):
Per esempio per $s,t \in (0,2\pi) $ posso avere che i due angoli sono uguali (quindi le uguaglianze sono banalmente verificate) e in quel caso avrei che $s=t$, però potrei avere, nel mio intervallo, per il coseno un valore come $t = \3/4 \pi $ e $s = 2\pi-t = 5/4 \pi$; in generale ho $s = 2\pi-t$ che mi soddisfa la prima equazione $cos s = cos t$ però per l'altra equazione otterrei $sin t = sin (2\pi -t) = sin(-t) = " disparità del seno" = -sint$. Non so come andare avanti e nemmeno se ciò che ho fatto sia giusto.
Aggiornamento: ho portato tutto a primo membro ottenendo $2sin(t) = 0$. Non so bene cosa fare con questa nuova equazione, forse sono arrivato ad un punto morto. Avrei bisogno di un ulteriore feedback se fosse possibile, giusto per sapere se questo course of action ha senso
posso distinguere a seconda dei casi (degli angoli per meglio dire):
Per esempio per $s,t \in (0,2\pi) $ posso avere che i due angoli sono uguali (quindi le uguaglianze sono banalmente verificate) e in quel caso avrei che $s=t$, però potrei avere, nel mio intervallo, per il coseno un valore come $t = \3/4 \pi $ e $s = 2\pi-t = 5/4 \pi$; in generale ho $s = 2\pi-t$ che mi soddisfa la prima equazione $cos s = cos t$ però per l'altra equazione otterrei $sin t = sin (2\pi -t) = sin(-t) = " disparità del seno" = -sint$. Non so come andare avanti e nemmeno se ciò che ho fatto sia giusto.
Aggiornamento: ho portato tutto a primo membro ottenendo $2sin(t) = 0$. Non so bene cosa fare con questa nuova equazione, forse sono arrivato ad un punto morto. Avrei bisogno di un ulteriore feedback se fosse possibile, giusto per sapere se questo course of action ha senso
Mi scuso per l'imprecisione: non volevo dire dimostrare ma verificare quella condizione, grazie Dissonance per avermelo fatto notare, ora correggo.
Hai praticamente concluso. Considerando un solo periodo perché siamo in $]0,2\pi[$, risulta:
$$[\cos t=\cos s] \iff [(t=s) \vee (t=2\pi -s)]$$
Ci sono quindi due casi possibili: se $t=s$, abbiamo concluso.
Se $t=2\pi-s$, allora sostituendo $t=2\pi-s$ in $\sin t=\sin s$ e considerando un solo periodo si ha (come da te correttamente notato):
$$[2 \sin s=0] \iff [(s=0) \vee (s= \pi)]$$
Anche qui abbiamo due casi possibili, tuttavia $s\in]0,2\pi[$ e quindi $s=0$ non si può mai verificare; perciò l'unica possibilità rimasta è $s=\pi$. Da $t=2\pi-s$ ed $s=\pi$, deduci che $t=2\pi-s=2\pi-\pi=\pi$ e dunque $t=\pi=s$. Ossia, nuovamente $t=s$.
In ogni caso possibile, è $t=s$ e dunque $\phi$ è iniettiva in $]0,2\pi[$.
$$[\cos t=\cos s] \iff [(t=s) \vee (t=2\pi -s)]$$
Ci sono quindi due casi possibili: se $t=s$, abbiamo concluso.
Se $t=2\pi-s$, allora sostituendo $t=2\pi-s$ in $\sin t=\sin s$ e considerando un solo periodo si ha (come da te correttamente notato):
$$[2 \sin s=0] \iff [(s=0) \vee (s= \pi)]$$
Anche qui abbiamo due casi possibili, tuttavia $s\in]0,2\pi[$ e quindi $s=0$ non si può mai verificare; perciò l'unica possibilità rimasta è $s=\pi$. Da $t=2\pi-s$ ed $s=\pi$, deduci che $t=2\pi-s=2\pi-\pi=\pi$ e dunque $t=\pi=s$. Ossia, nuovamente $t=s$.
In ogni caso possibile, è $t=s$ e dunque $\phi$ è iniettiva in $]0,2\pi[$.
Non avevo pensato a risolvere l'equazione ovviamente 
. Comunque grazie mille come sempre per l'aiuto Mephlip. Non volevo farti scrivere l'intera soluzione te lo giuro, purtroppo ieri sera ero abbastanza stanco e non riuscivo proprio ad andare avanti. Arigatou gozaimasu
. Comunque grazie mille come sempre per l'aiuto Mephlip. Non volevo farti scrivere l'intera soluzione te lo giuro, purtroppo ieri sera ero abbastanza stanco e non riuscivo proprio ad andare avanti. Arigatou gozaimasu
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