Curve regolari.. differenze tra definizioni.. vorrei capire
Ciao a tutti mi stavo riguardando la teoria sulle curve e mi sono accorto che sulla definizione di curva regolare si hanno delle differenze. Vorrei capire. . Grazie in anticipo
Una prima definizione
Una curva $\gamma $ si dice regolare se le componenti $ x (t), y (t) $ sono derivabili con le derivate continue nell' intervallo $ I $ e $ grad \gamma \ne 0 , \forall t \in I $
Ecco mentre un'altra definizione é quasi la stessa tranne che è $ \gamma : [a, b]\ to RR^n $ e dice che é regolare se il suo gradiente non si annulla mai $ \forall t \in (a, b) $.. ossia nei punti interni
Ecco mi sto confondendo le idee.. Non so a che definizione attenermi..
Una prima definizione
Una curva $\gamma $ si dice regolare se le componenti $ x (t), y (t) $ sono derivabili con le derivate continue nell' intervallo $ I $ e $ grad \gamma \ne 0 , \forall t \in I $
Ecco mentre un'altra definizione é quasi la stessa tranne che è $ \gamma : [a, b]\ to RR^n $ e dice che é regolare se il suo gradiente non si annulla mai $ \forall t \in (a, b) $.. ossia nei punti interni
Ecco mi sto confondendo le idee.. Non so a che definizione attenermi..
Risposte
Sul Pagani Salsa trovo la prima definizione tra quelle che hai indicato.
Mi atterrei a quella.
Mi atterrei a quella.
La seconda definizione che ho scritto l'ho trovata su E. Giusti Analisi Matematica 2 seconda edizione. . Ma vorrei capire come mai si danno 2 definizioni diverse..
Boh..
Boh..
Come ben noto, le definizioni sono, in certi sensi, arbitrarie; esse dipendono dal tipo di teoria che si vuole sviluppare, quindi ad una teoria "facile" [risp. "difficile"] corrispondono definizioni "più restrittive" [risp. "meno restrittive"]. Ad esempio, qui ho scritto cose "difficili" sulle curve, la loro lunghezza e l'integrale curvilineo e puoi notare che le definizioni sono davvero poco restrittive.
Ad ogni modo, per capire se ci sono differenze di approccio che giustifichino differenze nelle definizioni, ti basta buttare un occhio al teorema di rettificabilità (quello che ti fornisce la formula per la lunghezza di una curva regolare).
Ad ogni modo, per capire se ci sono differenze di approccio che giustifichino differenze nelle definizioni, ti basta buttare un occhio al teorema di rettificabilità (quello che ti fornisce la formula per la lunghezza di una curva regolare).
Ma perché parli di gradiente? La curva è una funzione di una sola variabile e solitamente si parla di derivata $\gamma '(t)$.
O forse per gradiente intendi la matrice jacobiana come ad esempio di usa in meccanica dei continui?
O forse per gradiente intendi la matrice jacobiana come ad esempio di usa in meccanica dei continui?
La curva piana è definita in modo parametrico da 21zuclo come $bar gamma (t) =(x(t),y(t))$ ,quindi è corretto parlare di gradiente :
$grad gamma = (( delx)/(delt),(dely)/(delt )) $
La regolarità significa esistenza della retta tangente alla curva, la curva non ha cuspidi ad esempio.
$grad gamma = (( delx)/(delt),(dely)/(delt )) $
La regolarità significa esistenza della retta tangente alla curva, la curva non ha cuspidi ad esempio.
Beh, nel senso più tradizionale il gradiente si applica a funzioni scalari di più variabili e non a funzioni vettoriali di una variabile.
Solitamente:
\[\nabla f := \left[ \begin{matrix} \partial f_{x_1} & \partial f_{x_2} & \cdots & \partial f_{x_n} \end{matrix} \right]\]
con \(f: \mathbb{R}^n \supseteq \Omega \to \mathbb{R} \).
E, con questa definizione secondo me è improprio scrivere $\nabla \gamma$ essendo $\gamma: \mathbb{R} \supseteq (a,b) \to \mathbb{R}^2$.
Se poi invece si considera il gradiente nel senso più generale come matrice, e quindi si utilizza il termine gradiente anche in riferimento alle funzioni vettoriali, è un altro conto. Ovvero:
\[\nabla \mathbf{f} := \left[ \begin{matrix} \nabla f^1 \\ \nabla f^2 \\ \vdots \\ \nabla f^m \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \partial f^1_{x_1} & \partial f^1_{x_2} & \cdots & \partial f^1_{x_n} \\ \vdots \\ \vdots \\ \partial f^m_{x_1} & \partial f^m_{x_2} & \cdots & \partial f^m_{x_n} \end{matrix} \right]\]
con \( \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^m \), dove $f^i$ indica la componente $i$-esima della funzione $\mathbf{f}$ e dove i $\nabla f^i$ indica il gradiente nel senso di cui sopra.
Solitamente:
\[\nabla f := \left[ \begin{matrix} \partial f_{x_1} & \partial f_{x_2} & \cdots & \partial f_{x_n} \end{matrix} \right]\]
con \(f: \mathbb{R}^n \supseteq \Omega \to \mathbb{R} \).
E, con questa definizione secondo me è improprio scrivere $\nabla \gamma$ essendo $\gamma: \mathbb{R} \supseteq (a,b) \to \mathbb{R}^2$.
Se poi invece si considera il gradiente nel senso più generale come matrice, e quindi si utilizza il termine gradiente anche in riferimento alle funzioni vettoriali, è un altro conto. Ovvero:
\[\nabla \mathbf{f} := \left[ \begin{matrix} \nabla f^1 \\ \nabla f^2 \\ \vdots \\ \nabla f^m \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \partial f^1_{x_1} & \partial f^1_{x_2} & \cdots & \partial f^1_{x_n} \\ \vdots \\ \vdots \\ \partial f^m_{x_1} & \partial f^m_{x_2} & \cdots & \partial f^m_{x_n} \end{matrix} \right]\]
con \( \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \supseteq \Omega \to \mathbb{R}^m \), dove $f^i$ indica la componente $i$-esima della funzione $\mathbf{f}$ e dove i $\nabla f^i$ indica il gradiente nel senso di cui sopra.
Certamente l'uso dell'operatore gradiente nel caso in discussione è un po' improprio, ma lo trovo comunque "espressivo ".
Il mio intervento non voleva essere una sterile pignoleria, ma ero curioso di capire come mai la parola gradiente (che nei miei casettini mentali è categorizzata nella sezione "funzioni scalari di più variabili" 
) venisse utilizzata in questo contesto.
Che poi sia espressiva è vero. C'è da dire inoltre che classicamente lo studio delle curve coincideva con lo studio degli insiemi di livello $g(x,y)=0$ e quindi $\nabla g$ aveva il preciso significato in questione.
) venisse utilizzata in questo contesto.Che poi sia espressiva è vero. C'è da dire inoltre che classicamente lo studio delle curve coincideva con lo studio degli insiemi di livello $g(x,y)=0$ e quindi $\nabla g$ aveva il preciso significato in questione.
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