Curve Regolari

[giuppyru-votailprof]

Devo calcolare la lunghezza della seguente curva regolare

1) ${(x=cos^2t),(y=sen^2t):}$

$ t in [0,pi/2]$

Ho difficoltà a risolvere l'integrale:

$\int(sqrt(cos^4t+sen^4t)) dt $

Ho provato ad utilizzare le formule di Werner ma senza successo.

Grazie

2) ${(x=(1-t^2)/(1+t^2)),(y=2t/(1+t^2)):}$

$ t in [-1,1] $

Anche qui ho difficoltà con l'integrale:

$\intsqrt(((1-t^2)/(1+t^2))^2+((2t)/(1+t^2))^2) dt $


Attendo vostri suggerimenti Grazie

[Rigel1]

DIrei che è sbagliata la formula che hai usato per il calcolo della lunghezza della curva.
Ricontrolla un po'...

[Camillo]

La formula che usi per calcolare la lunghezza non è corretta .

$L = int_a^b sqrt( x'(t)^2 +y'(t)^2 )dt$.

[giuppyru-votailprof]

Grazie mille ora ricontrollo gli esercizi se ho ancora dubbi vi faccio sapere

[giuppyru-votailprof]

Allora ricontrollando gli esercizi con la formula giusta ottengo :

1 ) $L=\int_0^(pi/2)(sqrt(8*sen^2t*cos^2t)) dt = $

$= 2sqrt2\int_0^(pi/2)(sent*cost) dt $ $= $ $[sqrt2*sen^2t]_0^(pi/2)$ $=$ $sqrt2$

Giusto ?

vi chiedo conferma perchè non ho il risultato.

2 ) $\int_-1^1(sqrt(((-4t)/(1+t^2))^2+((2-2t)/(1+t^2))^2) dt$

e ho come risultato :

$[2arctan(t)]_-1^1$ $=$ $pi$

Vi chiedo conferma dei risultati. Grazie

Inoltre vorrei farvi una domanda perchè ho problemi con il seguente esercizio :

3 ) ${(x=r*(t-sent)),(y=r*(1-cost)):} $

$t in [0 , 2pi]$

non riesco a risolvere l'integrale perchè non capisco se devo considerare $r$ come una variabile o come una costante, e se devo considerarla come variabile la mia variabile di integrazione è sempre $t$ ? e come faccio le derivate ?

Grazie mille

[giuppyru-votailprof]

ho provato a risolvere l'esercizio 3 considerando la $r$ come una variabile, ma così facendo nn so come fare la derivata.

[Camillo]

Visto che $ t $ varia tra $0 $ e $2pi $ sarà la variabile mentre $ r $ è da considerarsi costante.