Curve Parametriche: determinazione di punti di intersezione
Ciao a tutti,
sto cercando di svolgere due esercizi ma non ci riesco, chiedo a Voi (se possibile) un aiuto magari con una spiegazione del procedimento.
Il primo esercizio è il seguente:
Data la curva parametrica $gamma(t)=(cos2t, 3sint)$, con t $\in[o,3\pi]$, determinare almeno due punti che appartengono alla curva.
So fare il procedimento opposto (cioè quello di verificare che due punti appartengono alla curva) ma molto stupidamente (e mi scuso per la banalità) non so fare questo procedimento:
Ho iniziato mettendo a sistema la funzione parametrica ossia mettendo a sistema $X(t)$ e $Y(t)$ in questo modo:
$\{cos2t = x$
$\{3sent = y$
ma penso di aver già sbagliato in partenza. Avrei voluto determinare x e y come punti appartenenti alla curva ma per fare questo credo che x e y debbono essere uguali, giusto???
Il secondo esercizio, per me ancora più complesso del precedente, è il seguente:
Determinare gli eventuali punti di intersezione tra le due curve $gamma1(t)=(2+t,1-2t)$, con t $\in[numeri reali]$ e $gamma2(t)=(1-t,3-4t)$, con t $\in[numeri reali]$. (Attenzione: le due curve possono passare per uno stesso punto per valori del parametro diversi).
In questo caso, mi dispiace, ma non so proprio iniziarlo l'esercizio. Se potete chiedo una mano lo stesso altrimenti fa niente...
Grazie mille
Luca
sto cercando di svolgere due esercizi ma non ci riesco, chiedo a Voi (se possibile) un aiuto magari con una spiegazione del procedimento.
Il primo esercizio è il seguente:
Data la curva parametrica $gamma(t)=(cos2t, 3sint)$, con t $\in[o,3\pi]$, determinare almeno due punti che appartengono alla curva.
So fare il procedimento opposto (cioè quello di verificare che due punti appartengono alla curva) ma molto stupidamente (e mi scuso per la banalità) non so fare questo procedimento:
Ho iniziato mettendo a sistema la funzione parametrica ossia mettendo a sistema $X(t)$ e $Y(t)$ in questo modo:
$\{cos2t = x$
$\{3sent = y$
ma penso di aver già sbagliato in partenza. Avrei voluto determinare x e y come punti appartenenti alla curva ma per fare questo credo che x e y debbono essere uguali, giusto???
Il secondo esercizio, per me ancora più complesso del precedente, è il seguente:
Determinare gli eventuali punti di intersezione tra le due curve $gamma1(t)=(2+t,1-2t)$, con t $\in[numeri reali]$ e $gamma2(t)=(1-t,3-4t)$, con t $\in[numeri reali]$. (Attenzione: le due curve possono passare per uno stesso punto per valori del parametro diversi).
In questo caso, mi dispiace, ma non so proprio iniziarlo l'esercizio. Se potete chiedo una mano lo stesso altrimenti fa niente...
Grazie mille
Luca
Risposte
Rettifico, credo di aver "risolto" il primo esercizio procedendo come segue:
Ho calcolato
$gamma(0)=(cos2(0),3sen(0))= (1,0)$
$gamma(\pi/2)=(cos2(\pi/2),3sen(\pi/2))= (0,3)$
Dunque i punti (1,0) e (0,3) dovrebbero appartenere alla curva. Giusto?
Ho calcolato
$gamma(0)=(cos2(0),3sen(0))= (1,0)$
$gamma(\pi/2)=(cos2(\pi/2),3sen(\pi/2))= (0,3)$
Dunque i punti (1,0) e (0,3) dovrebbero appartenere alla curva. Giusto?
Ti conviene esprimere le curve in forma cartesiana:
$\gamma_1:\{(x=2+t),(y=1-2t):} rarr {(t=x-2),(y=1-2(x-2)):} rarr y=-2x+5$
$\gamma_2:\{(x=1-t),(y=3-4t):} rarr {(t=1-x),(y=3-4(1-x)):} rarr y=4x-1$
Ora, devi semplicemente risolvere il seguente sistema:
$\{(y=-2x+5),(y=4x-1):}$
Il primo esercizio è troppo semplice per meritare una risposta immediata.
$\gamma_1:\{(x=2+t),(y=1-2t):} rarr {(t=x-2),(y=1-2(x-2)):} rarr y=-2x+5$
$\gamma_2:\{(x=1-t),(y=3-4t):} rarr {(t=1-x),(y=3-4(1-x)):} rarr y=4x-1$
Ora, devi semplicemente risolvere il seguente sistema:
$\{(y=-2x+5),(y=4x-1):}$
Il primo esercizio è troppo semplice per meritare una risposta immediata.
"speculor":
Ti conviene esprimere le curve in forma cartesiana:
$\gamma_1:\{(x=2+t),(y=1-2t):} rarr {(t=x-2),(y=1-2(x-2)):} rarr y=-2x+5$
$\gamma_2:\{(x=1-t),(y=3-4t):} rarr {(t=1-x),(y=3-4(1-x)):} rarr y=4x-1$
Ora, devi semplicemente risolvere il seguente sistema:
$\{(y=-2x+5),(y=4x-1):}$
Il primo esercizio è troppo semplice per meritare una risposta immediata.
Grazie per l'aiuto.
Per quanto riguarda il primo esercizio ho postato la risoluzione e penso sia giusta.
"lucaam86":
$gamma(\pi/2)=(cos2(\pi/2),3sen(\pi/2))= (0,3)$
Se non ricordo male, $cos\pi=-1$, ma potrei sbagliarmi.
"lucaam86":
...
Ho calcolato
....
$gamma(\pi/2)=(cos2(\pi/2),3sen(\pi/2))= (0,3)$
....
Giusto?
No: $cos2(\pi/2)=cospi=-1$
"chiaraotta":
[quote="lucaam86"]...
Ho calcolato
....
$gamma(\pi/2)=(cos2(\pi/2),3sen(\pi/2))= (0,3)$
....
Giusto?
No: $cos2(\pi/2)=cospi=-1$[/quote]
Ah è vero grazie!!!
Per quanto riguarda la risposta di speculor sulla trasformazione da parametriche e cartesiane è l'unico procedimento oppure ce ne sono anche altri?
Per il primo esercizio mi sembra che, se $x=cos2t$ e $y=3sent->sent=y/3$, poiché $cos2t=1-2sen^2t$ (formule di duplicazione del coseno), allora $x=1-2/9y^2$ (parabola cha ha per asse l'asse $x$, rivolta verso sinistra, con il vertice in $(1, 0)$).
Puoi utilizzare anche questo:
$\gamma_1:\{(x_1=2+t_1),(y_1=1-2t_1):}$
$\gamma_2:\{(x_2=1-t_2),(y_2=3-4t_2):}$
$\{(x_1=x_2),(y_1=y_2):} rarr \{(2+t_1=1-t_2),(1-2t_1=3-4t_2):}$
Infine, sostituire $t_1$ in $x_1$ e $y_1$ oppure $t_2$ in $x_2$ e $y_2$. Veramente, basta calcolare $t_1$ oppure $t_2$.
Stavo scherzando.
$\gamma_1:\{(x_1=2+t_1),(y_1=1-2t_1):}$
$\gamma_2:\{(x_2=1-t_2),(y_2=3-4t_2):}$
$\{(x_1=x_2),(y_1=y_2):} rarr \{(2+t_1=1-t_2),(1-2t_1=3-4t_2):}$
Infine, sostituire $t_1$ in $x_1$ e $y_1$ oppure $t_2$ in $x_2$ e $y_2$. Veramente, basta calcolare $t_1$ oppure $t_2$.
"speculor":
Se non ricordo male, $cos\pi=-1$, ma potrei sbagliarmi.
Stavo scherzando.
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