Curve orientate (dubbi sulla teoria)
Salve ragazzi!
Da poco ho incominciato a studiare la teoria per il secondo modulo del mio esame analisi.
Il primo argomento tratta le curve in forma parametrica e non ho ben chiaro un paio di passaggio riguardo l'orientazione di una curva.
Tra gli appunti presi durante il corso quando si introduce il concetto di orientazione si parla anche di curve equivalenti, nel seguente modo:
si definiscono 2 parametrizzazioni differenti:
$\phi_1:{(x=cos2t),(y=sin2t):}$ con $t\in[0,\pi]$
$\phi_2:{(x=cosu),(y=sinu):}$ con $u\in[0,2\pi]$
A questo punto si nota che esiste una funzione $h$, che dovrebbe essere $h(t)=2t$, che trasforma le parametrizzazioni in modo tale che esse rappresentino la stessa curva, cioè:
$\phi_2(h(t))=\phi_1(t)$ $AAt\in[0,\pi]$
Ora si deriva $h$ e si ottiene che $h'(t)=2>0$, da cui si deduce che le 2 curve hanno stessa orientazione.
Nel caso in cui $h'(t)$ fosse stata $<0$ le due curve avrebbero avuto orientazione opposta.
Ora siccome io non sono un genio a prendere appunti, e tanto meno lo sono a analisi, qualcuno mi potrebbe dare una spiegazione riguardo i seguenti punti:
Perchè questo metodo è valido?
$h'(t)$ c'entra qualcosa con i vettori tangenti alle curve?
Si può confrontare l'orientazione solo tra curve equivalenti?
Qualcosina giusta l'ho detta
?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Da poco ho incominciato a studiare la teoria per il secondo modulo del mio esame analisi.
Il primo argomento tratta le curve in forma parametrica e non ho ben chiaro un paio di passaggio riguardo l'orientazione di una curva.
Tra gli appunti presi durante il corso quando si introduce il concetto di orientazione si parla anche di curve equivalenti, nel seguente modo:
si definiscono 2 parametrizzazioni differenti:
$\phi_1:{(x=cos2t),(y=sin2t):}$ con $t\in[0,\pi]$
$\phi_2:{(x=cosu),(y=sinu):}$ con $u\in[0,2\pi]$
A questo punto si nota che esiste una funzione $h$, che dovrebbe essere $h(t)=2t$, che trasforma le parametrizzazioni in modo tale che esse rappresentino la stessa curva, cioè:
$\phi_2(h(t))=\phi_1(t)$ $AAt\in[0,\pi]$
Ora si deriva $h$ e si ottiene che $h'(t)=2>0$, da cui si deduce che le 2 curve hanno stessa orientazione.
Nel caso in cui $h'(t)$ fosse stata $<0$ le due curve avrebbero avuto orientazione opposta.
Ora siccome io non sono un genio a prendere appunti, e tanto meno lo sono a analisi, qualcuno mi potrebbe dare una spiegazione riguardo i seguenti punti:
Perchè questo metodo è valido?
$h'(t)$ c'entra qualcosa con i vettori tangenti alle curve?
Si può confrontare l'orientazione solo tra curve equivalenti?
Qualcosina giusta l'ho detta
?Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Spulciando su internet sono riuscito a risolvere parte dei miei problemi (spero )!
Il concetto primario non sta nello stabilire se due curve hanno stessa orientazione o meno, ma sta nello stabilire se due curve sono equivalenti o no.
Se ho ben capito, e detto alla carlona, due curve sono equivalenti se descrivono la stessa traiettoria (quindi lo stesso sostegno) "ripassandoci sopra" lo stesso numero di volte.
Infatti il concetto chiave sta nell'affermazione che la lunghezza di 2 curve equivalenti è la medesima.
Ora da un punto di vista matematico si dice che due curve equivalenti lo sono se esiste questa funzione $h$, detta cambio di parametrizzazione, che lega le due curve in modo tale che risulti vera l'espressione $phi_2(h(t))=phi_1(t)$ per ogni $t$ in [a,b].
Quindi si può concludere che qualunque sia $h(t)$ la lunghezza delle due curve coincide, quindi è indipendente dalla scelta della parametrizzazione.
Comunque ancora non ho ben chiaro il discorso riguardo l'orientazione, nello specifico il motivo percui entra in gioco $h'(t)$.
Se qualcuno fosse in grado di darmi una mano ne sarei felicissimo, anche solo per eventuali precisazioni e soprattutto correzioni.
Grazie a tutti!
)!Il concetto primario non sta nello stabilire se due curve hanno stessa orientazione o meno, ma sta nello stabilire se due curve sono equivalenti o no.
Se ho ben capito, e detto alla carlona, due curve sono equivalenti se descrivono la stessa traiettoria (quindi lo stesso sostegno) "ripassandoci sopra" lo stesso numero di volte.
Infatti il concetto chiave sta nell'affermazione che la lunghezza di 2 curve equivalenti è la medesima.
Ora da un punto di vista matematico si dice che due curve equivalenti lo sono se esiste questa funzione $h$, detta cambio di parametrizzazione, che lega le due curve in modo tale che risulti vera l'espressione $phi_2(h(t))=phi_1(t)$ per ogni $t$ in [a,b].
Quindi si può concludere che qualunque sia $h(t)$ la lunghezza delle due curve coincide, quindi è indipendente dalla scelta della parametrizzazione.
Comunque ancora non ho ben chiaro il discorso riguardo l'orientazione, nello specifico il motivo percui entra in gioco $h'(t)$.
Se qualcuno fosse in grado di darmi una mano ne sarei felicissimo, anche solo per eventuali precisazioni e soprattutto correzioni.
Grazie a tutti!
Premesso che, derivando rispetto a $t$, ottieni un vettore tangente, vale la seguente relazione:
$phi_2(h(t))=phi_1(t) rarr phi_2'(h(t))h'(t)=phi_1'(t)$
Quindi, se $h'(t)<0$, allora $phi_2'(h(t))$ e $phi_1'(t)$ sono $2$ vettori tangenti opposti, indipendentemente dal loro modulo.
$phi_2(h(t))=phi_1(t) rarr phi_2'(h(t))h'(t)=phi_1'(t)$
Quindi, se $h'(t)<0$, allora $phi_2'(h(t))$ e $phi_1'(t)$ sono $2$ vettori tangenti opposti, indipendentemente dal loro modulo.
Grazie mille speculor!
Risposta chiara e sintetica!
Risposta chiara e sintetica!
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