Curve omotope

[Fingolfin]

Mi sono imbattuto nella definizione di omotopia, o almeno quella che ho io è la seguente:

"Due curve $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ $in CC$ che vanno da $z_0$ a $z_1$ si dicono omotope se esiste una funzione $\gamma(t,p): \[0,1\]\times\[0,1\] \rightarrow CC$ tc $\gamma(0,p)=\Gamma_1$, $\gamma(1,p)=\Gamma_2$ e $\gamma(t,0)=z_0$, $\gamma(t,1)=z_1$."

E' giusta? Altrimenti?
Tuttavia non riesco a visualizzare la cosa. Potete farmi un esempio?

[vict85]

Su wiki c'é una illustrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Omotopia

[gugo82]

L'idea è semplice: due curve con gli stessi estremi \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) sono omotope se esiste un modo per deformare in maniera continua la curva \(\Gamma_1\) fino a farla coincidere con \(\Gamma_2\).

Ad esempio, l'arco di cerchio \(\Gamma_1:=\{ e^{\imath\ \pi\ t},\ t \in [0,1]\}\) ed il segmento \(\Gamma_2:=\{ 2t-1,\ t\in [0,1]\}\) sono omotopi: ciò lo puoi vedere graficamente:
[asvg]xmin=-1;xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="grey"; arc([1,0],[-1,0],1.01); arc([1,0],[-1,0],1.05); arc([1,0],[-1,0],1.17); arc([1,0],[-1,0],1.5); arc([1,0],[-1,0],2.5);
strokewidth=2;
stroke="red"; arc([1,0],[-1,0],1);
stroke="blue"; line([-1,0],[1,0]);
stroke="orange"; marker="arrow"; line([0,0.95],[0,0.05]); line([0.475,0.8227], [0.475, 0.05]);
line([-0.475,0.8227], [-0.475, 0.05]);[/asvg]
e puoi anche determinare esplicitamente la mappa \(\gamma\) che deforma \(\Gamma_1\) su \(\Gamma_2\) le cui "fibre" sono disegnate in grigio in figura (servono un po' di contazzi con la Geometria Analitica).

[Raptorista1]

In quella definizione manca la continuità di \(\gamma\).

[bosmer-votailprof]

Buongiorno,
non so se ha senso spolverare un vecchio thread, però la mia domanda è così semplice che non mi sembrava il caso di aprirne uno nuovo...
Volevo sapere se a parte l'omotopia a una costanza esiste qualche definizione di omotopia fra curve chiuse.
In particolare immaginiamo di avere una curva $\gamma_1$ interamente contenuta nell'interno di un altra curva $\gamma$ chiaramente supponiamo entrambe le curve chiuse,semplici e regolari; volevo sapere se esiste una definizione di omotopia che permetta di dire che queste curve sono omotope, e se in particolare tale definizione(se esiste) trova qualche applicazione nell'analisi complessa.

[killing_buddha]

"Bossmer":Buongiorno,
non so se ha senso spolverare un vecchio thread, però la mia domanda è così semplice che non mi sembrava il caso di aprirne uno nuovo...
Volevo sapere se a parte l'omotopia a una costanza esiste qualche definizione di omotopia fra curve chiuse.
In particolare immaginiamo di avere una curva $\gamma_1$ interamente contenuta nell'interno di un altra curva $\gamma$ chiaramente supponiamo entrambe le curve chiuse,semplici e regolari; volevo sapere se esiste una definizione di omotopia che permetta di dire che queste curve sono omotope, e se in particolare tale definizione(se esiste) trova qualche applicazione nell'analisi complessa.

La definizione di omotopia non fa nessuna differenza tra curve "aperte" e "chiuse"; anche il caso -escluso dalla tua descrizione del problema cui sei interessat*- in cui le due curve si intersecano vicendevolmente un qualsiasi numero di volte è già coperto dalla definizione classica di omotopia, che appunto è data così per essere generale abbastanza da contenere già questi edge cases.

Una specializzazione della nozione di omotopia di cammini $I=[0,1]\to X$ è alla nozione di "omotopia relativa al bordo". Per $I$, questo sottospazio è \(\partial I = \{0,1\}\), cosicché due cammini omotopi sono "omotopi \(\text{rel } \partial I\)" se $\gamma_1(\epsilon)=\gamma_2(\epsilon)$ per $\epsilon\in \partial I$.

Per quanto riguarda l'analisi complessa, dipende cosa vuoi sapere; se ben ricordo, se $f$ è olomorfa e \(H : \gamma\simeq \eta\) è un'omotopia di cammini, allora \(\int_\gamma f(z)dz =\int_\eta f(z)dz\). Questo ti sta segretamente enunciando un teorema sulla coomologia di de Rham -anzi sulla coomologia di Dolbeault- di una varietà complessa, e in particolare sul complesso delle sue $(1,0)$ forme (quelle olomorfe).

[bosmer-votailprof]

No forse non sono stato sufficientemente chiaro, io mi chiedevo se esistesse una definizione di omotopia nel caso in cui due curve non si intersecano in alcun punto, siano queste aperte o chiuse, anche se a me interessa in particolare il caso in cui sono chiuse.

[killing_buddha]

"Bossmer":No forse non sono stato sufficientemente chiaro, io mi chiedevo se esistesse una definizione di omotopia nel caso in cui due curve non si intersecano in alcun punto, siano queste aperte o chiuse, anche se a me interessa in particolare il caso in cui sono chiuse.

Certo che c'è. Due cammini $f,g$ in uno spazio $X$ sono due punti di \(W=C^0(I, X)\) (l'insieme delle funzioni continue $I\to X$), topologizzato -ad esempio- con la topologia compatta-aperta quando $X$ è uno spazio decente; basta dire che $f,g$ sono "omotope" quando esse sono nella stessa componente connessa per archi di $W$, ossia quando esiste $H : I \to W$ tale che $H(0)=f$, $H(1)=g$. Come vedi, questa definizione non è sensibile a quanto $f,g$ si intersecano tra loro.

[bosmer-votailprof]

Ma $H$ non deve avere qualche altra proprietà? Perché per come è definita visto che deve essere continua, in pratica è come se stiamo affermando che il fatto che $f$ e $g$ siano due cammini omotopi dipende unicamente da come è fatto lo spazio $X$.
Quindi ad esempio in uno spazio tipo $R^2$ ogni cammino è omotopo a ogni altro cammino, è corretto?

[killing_buddha]

La proprietà che due cammini siano omotopi o meno è _unicamente_ una proprietà di X, cosa c'è di strano in questo?

[bosmer-votailprof]

A quanto pare niente
Io non mi occupo prettamente di topologia, quando qualche nozione di topologia salta fuori cerco di approfondirla per capire qualcosa in più, quindi alcuni risultati magari banali per chi si occupa della materia non lo sono per me che la studio in maniera tangente.

In ogni caso grazie, perché messa in questi termini, la definizione che mi hai dato mi permette di formalizzare un concetto che avevo vago in testa in analisi complessa.

[killing_buddha]

Qual è questo concetto?

[bosmer-votailprof]

Non è niente di che, espresso in termini non formali è il fatto che se ho una funzione $f$ olomorfa sul piano complesso privato dell'interno di un certo cammino semplice $\gamma$ allora l'integrale di $f$ su $\gamma$ è uguale all'integrale di $f$ lungo qualsiasi cammino semplice omotopo a $\gamma$ nel senso dell'ultima definizione che mi hai dato tu.

Mentre nei teoremi di analisi complessa viene enunciato un risultato simile quando si parla di domini n+1 volte connessi, ma non l'ho mai trovato espresso in termini di omotopie, appunto perché in analisi complessa si parla solo di curve omotope a estremi fissi.

[killing_buddha]

Secondo me devi stare attento ad alcune cose (sebbene il mio rapporto con l'analisi complessa sia simile al tuo con la topologia):

"Bossmer":se ho una funzione $f$ olomorfa sul piano complesso privato dell'interno di un certo cammino semplice $\gamma$ allora l'integrale di $f$ su $\gamma$ è uguale all'integrale di $f$ lungo qualsiasi cammino semplice omotopo a $\gamma$

Per il teorema della curva di Jordan $\gamma$ divide il piano in due regioni di cui solo una è limitata; quel che dici tu è vero se l'altra curva sta nella regione non limitata ("l'esterno" di $\gamma$"); se vuoi integrare $f$ lungo un cammino contenuto in un sottospazio dove $f$ non è olomorfa, cose brutte possono succedere.

nei teoremi di analisi complessa viene enunciato un risultato simile quando si parla di domini n+1 volte connessi

Ho sempre seri problemi a capire cosa sia un "dominio $n+1$ volte connesso" quando questa nozione viene citata in giro; perché questa cosa in topologia algebrica significa una cosa ben precisa, che mal si adatta al fatto che qui stiamo considerando un sottoinsieme di $CC$. In breve, se stai parlando di un dominio a cui mancano $n+1$ dischi disgiunti, chiamarlo così è ingannevole e confusionario.

[bosmer-votailprof]

"killing_buddha": Per il teorema della curva di Jordan $\gamma$ divide il piano in due regioni di cui solo una è limitata; quel che dici tu è vero se l'altra curva sta nella regione non limitata ("l'esterno" di $\gamma$"); se vuoi integrare $f$ lungo un cammino contenuto in un sottospazio dove $f$ non è olomorfa, cose brutte possono succedere.

Si ma questo non può succedere, perché quando dico "lungo qualsiasi cammino omotopo" sto sottointendendo questo:
Sia $g:D\subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ e sia $A\subseteq D$ tale per cui $g$ è olomorfa in $A$ allora definisco $f$ come la restrizione di $g$ ad $A$ cioè $f:=g:A\to \mathbb{C}$. Chiaramente come in ogni buon teorema di analisi complessa qualunque cammino $\gamma$ lungo cui si vuole integrare deve necessariamente essere tale che $\bar \gamma \subseteq A$ altrimenti $f$ non è definita.
In effetti la tua osservazione era ragionevole perché non ti avevo specificato queste premesse, che sono diciamo il minimo, perché avere funzioni definite anche in punti di non olomorfia è spesso inutile perché nessun teorema vi si applica, così come avere domini non aperti o non connessi, così come avere curve definite fuori dal dominio di $f$, quindi in generale in analisi complessa quando si parla di domini si intende già che questi siano insiemi aperti connessi per archi, quando si parla di $f$ olomorfa in un dominio si intende che fuori da quel dominio non è definita(o non la vogliamo definire) e quando si parla di curve si intende sempre che la loro traccia sia contenuta nel dominio di $f$.

"killing_buddha":Ho sempre seri problemi a capire cosa sia un "dominio $ n+1 $ volte connesso" quando questa nozione viene citata in giro; perché questa cosa in topologia algebrica significa una cosa ben precisa, che mal si adatta al fatto che qui stiamo considerando un sottoinsieme di $ CC $. In breve, se stai parlando di un dominio a cui mancano $ n+1 $ dischi disgiunti, chiamarlo così è ingannevole e confusionario.

Questo purtroppo è il problema della matematica(o meglio delle persone che la scrivono e studiano) che certe definizioni cambino di significato a seconda dell'argomento che si sta trattando, e trattandosi di definizioni non si può nemmeno dire che una è giusta e l'altra è sbagliata, in campo complesso ha un certo significato, li si poteva chiamare "domini $n$ forati" per quanto mi riguarda, però se ognuno si mette a dare i nomi alle cose secondo il suo gusto poi si capirà solo con se stesso, oppure scrive un libro, però per fare un discorso del tuo genere uno dovrebbe prima studiare bene entrambe le materie in cui la definizione risulta conflittuale e poi ci scrive un libro specificando le distinzioni e dando un nuovo nome a una delle due definizioni se queste davvero non combaciano. O almeno questo è il mio pensiero.