Curve in R^n
Ciao a tutti!Sono nuova spero di essere nella sezione giusta. Sto preparando un esame e ho un problema con un esercizio sulle curve in R^n, in particolare su quando si dicono "regolari" e su come calcolarne la tangente in un punto.
La definizione di curva regolare data dal mio prof è la seguente (dove $x_{i}(t)$ è la descrizione parametrica della curva):
Data una curva $x(t)$ in $\mathbb{R}^{n}$, per ogni $t \in [a,b]$ diciamo che la curva è regolare se:
1) $x_{i} \in C^{1}$ per ogni $i=1,...,n$ e per ogni $t \in [a,b]$
2) $sum_(i = 1)^(n) (x'_{i})^{2} \ne 0$ per ogni $t \in [a,b]$
3) dati due punti $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ diversi tra loro, abbiamo $x(t_{1}) \ne x(t_{2})$
Ho il seguente esercizio:
Considera la curva $x_{1}(t)= 2- cos(t), x_{2}(t)= sin(t)^{2}, x_{3}(t)= sin(t) in \mathbb{R}^{3}, t \in [0,\pi]$. Determina per quali valori di $t$ $x(t)$ è regolare, decidi se la tangente è definita per $t=\pi/2$ e in caso calcolala.
Io ho controllato che $x_{1,2,3}$ sono tutte continuamente differenziabili e che $sum_(i = 1)^(3) (x'_{i})^{2} \ne 0$, e va bene. Quello che non capisco è come verificare l'ultimo punto della definizione. Ciò che farei io è prendere due punti a caso dell'intervallo $[0,\pi]$ e poi metterli dentro a $x_{1}, x_{2},x_{3}$, solo che così il calcolo non sarebbe su "tutta" la curva, ma su "pezzetti di curva"...non so se mi sono spiegata bene.
Per quanto riguarda la tangente in un punto, il mio professore mi ha dato la seguente formula:
$l = {x_{1} - x_{1}(t)}/{x'_{1}(t)} = {x_{2} - x_{2}(t)}/{x'_{2}(t)} = {x_{3} - x_{3}(t)}/{x'_{3}(t)} $
Dato che la curva è regolare (o per lo meno così sostiene il professore, dato che devo verificare il terzo punto e non so farlo) la tangente è definita per ogni $t$ dell'intervallo. Usando la formula però il denominatore del secondo e del terzo membro viene =0, e il professore conclude che abbiamo per $l$ le due equazioni $x_{2} -1=0$ e $x_{3}-1=0$. Perché? e perché l'equazione che viene al primo membro, che sarebbe $x_{1} -2 =0$ sparisce?
Grazie in anticipo (e scusate la lunghezza del post)
La definizione di curva regolare data dal mio prof è la seguente (dove $x_{i}(t)$ è la descrizione parametrica della curva):
Data una curva $x(t)$ in $\mathbb{R}^{n}$, per ogni $t \in [a,b]$ diciamo che la curva è regolare se:
1) $x_{i} \in C^{1}$ per ogni $i=1,...,n$ e per ogni $t \in [a,b]$
2) $sum_(i = 1)^(n) (x'_{i})^{2} \ne 0$ per ogni $t \in [a,b]$
3) dati due punti $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ diversi tra loro, abbiamo $x(t_{1}) \ne x(t_{2})$
Ho il seguente esercizio:
Considera la curva $x_{1}(t)= 2- cos(t), x_{2}(t)= sin(t)^{2}, x_{3}(t)= sin(t) in \mathbb{R}^{3}, t \in [0,\pi]$. Determina per quali valori di $t$ $x(t)$ è regolare, decidi se la tangente è definita per $t=\pi/2$ e in caso calcolala.
Io ho controllato che $x_{1,2,3}$ sono tutte continuamente differenziabili e che $sum_(i = 1)^(3) (x'_{i})^{2} \ne 0$, e va bene. Quello che non capisco è come verificare l'ultimo punto della definizione. Ciò che farei io è prendere due punti a caso dell'intervallo $[0,\pi]$ e poi metterli dentro a $x_{1}, x_{2},x_{3}$, solo che così il calcolo non sarebbe su "tutta" la curva, ma su "pezzetti di curva"...non so se mi sono spiegata bene.
Per quanto riguarda la tangente in un punto, il mio professore mi ha dato la seguente formula:
$l = {x_{1} - x_{1}(t)}/{x'_{1}(t)} = {x_{2} - x_{2}(t)}/{x'_{2}(t)} = {x_{3} - x_{3}(t)}/{x'_{3}(t)} $
Dato che la curva è regolare (o per lo meno così sostiene il professore, dato che devo verificare il terzo punto e non so farlo) la tangente è definita per ogni $t$ dell'intervallo. Usando la formula però il denominatore del secondo e del terzo membro viene =0, e il professore conclude che abbiamo per $l$ le due equazioni $x_{2} -1=0$ e $x_{3}-1=0$. Perché? e perché l'equazione che viene al primo membro, che sarebbe $x_{1} -2 =0$ sparisce?
Grazie in anticipo (e scusate la lunghezza del post)
Risposte
Il terzo punto di solito non corrisponde alla definizione di curva regolare. La terza proprieta' corrisponde alla definizione di curva semplice che implica che la curva non abbia autointersezioni.
Quindi data una curva $\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$ il punto 3 implica che $\vec{r}(t_1)!=\vec{r}(t_2)$ $ \forall t_1,t_2 \in I$.
Nel nostro caso la curva data e' semplice (non ha autointersezioni), perche' nell'insieme $I=[0,\pi]$ la prima componente e' monotona decrescente e continua per cui assume valori distinti in tutti i punti dati.
Quindi data una curva $\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$ il punto 3 implica che $\vec{r}(t_1)!=\vec{r}(t_2)$ $ \forall t_1,t_2 \in I$.
Nel nostro caso la curva data e' semplice (non ha autointersezioni), perche' nell'insieme $I=[0,\pi]$ la prima componente e' monotona decrescente e continua per cui assume valori distinti in tutti i punti dati.
Innanzitutto grazie per la risposta, ho capito bene il primo punto, mentre non capisco molto bene la storia della tangente: il professore in forma parametrica ha considerato solo $x_{2}$ e $x_{3}$, perché ha "cestinato" $x_{1}$? E cos'è s? Grazie ancora
Ah bene menomale perché io consideravo $x_{1}$, almeno non sono l'unica a pensare che non vada cestinato (ho trovato altri errori sulle soluzioni del prof, probabilmente sono sviste). Grazie mille!
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