Curve equivalenti di R^n
Buongiorno,
sto studiando le curve di $RR^n$ e scorrendo gli appunti mi sono imbattuta nella dimostrazione del seguente teorema:
"Date due curve equivalenti allora esse avranno lunghezza uguale"
Precisamente:
Siano $phi : [a,b] -> RR^n$ e $psi : [c,d] -> RR^n$ due curve di classe $C^1$ t.c. $phi \sim psi$ allora $L(phi)=L(psi)$ cioè $\int_{a}^{b}||phi'(t)||dt=\int_{c}^{d}||psi'(t)||dt$
Dim:
$phi \sim psi -> EE g : [a,b] -> [c,d]$ t.c.$AA t in [a,b] : phi(t)=psi(g(t)) $
Applico il teorema di derivabilità delle funzioni composte
$phi'(t)='psi'(g(t))*g'(t) AA t in [a,b]$ dunque $L(phi)=\int_{a}^{b}||phi'(t)||dt=\int_{a}^{b}||psi'(g(t))*g'(t)||dt=\int_{a}^{b}||psi'(g(t))||*||g'(t)||dt=tau=g(t)$ $∧$ $d tau=g'(t)dt$
Quello che non capisco è da quale ragionamento salta fuori questo: $tau=g(t)$ $∧$ $d tau=g'(t)dt$
sto studiando le curve di $RR^n$ e scorrendo gli appunti mi sono imbattuta nella dimostrazione del seguente teorema:
"Date due curve equivalenti allora esse avranno lunghezza uguale"
Precisamente:
Siano $phi : [a,b] -> RR^n$ e $psi : [c,d] -> RR^n$ due curve di classe $C^1$ t.c. $phi \sim psi$ allora $L(phi)=L(psi)$ cioè $\int_{a}^{b}||phi'(t)||dt=\int_{c}^{d}||psi'(t)||dt$
Dim:
$phi \sim psi -> EE g : [a,b] -> [c,d]$ t.c.$AA t in [a,b] : phi(t)=psi(g(t)) $
Applico il teorema di derivabilità delle funzioni composte
$phi'(t)='psi'(g(t))*g'(t) AA t in [a,b]$ dunque $L(phi)=\int_{a}^{b}||phi'(t)||dt=\int_{a}^{b}||psi'(g(t))*g'(t)||dt=\int_{a}^{b}||psi'(g(t))||*||g'(t)||dt=tau=g(t)$ $∧$ $d tau=g'(t)dt$
Quello che non capisco è da quale ragionamento salta fuori questo: $tau=g(t)$ $∧$ $d tau=g'(t)dt$
Risposte
Mi basterebbe anche una dimostrazione alternativa 
Quale parte esattamente non capisci?
Il professore introduce un $tau$ che non definisce da nessuna parte e da lì fino alla fine... Ora, trattandosi di appunti poco attendibili di spiegazioni poco attendibili, mi accontenterei anche di una dimostrazione alternativa.
"laska":
Il professore introduce un $tau$ che non definisce da nessuna parte e da lì fino alla fine... Ora, trattandosi di appunti poco attendibili di spiegazioni poco attendibili, mi accontenterei anche di una dimostrazione alternativa.
In analisi complessa c'era un teorema uguale (però in $\CC$, cioè in $R^2$ [circa]). Quel $\tau$ era definito proprio come $g(t)=\tau$. Cioè (meglio), $g(t)$ è la funzione che ad ogni $t\in [c,d]$ associa un valore ($\tau$) in $[a,b]$.
Solo che non ricordo se $g(t)$ avesse proprietà particolari in sé (regolare?) oltre quella di associare i due intervalli...
OT. Mi incuriosisce molto "spiegazioni poco attendibili".
Tu hai le due curve \(\displaystyle \varphi\colon I \to \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle \psi\colon J \to \mathbb{R}^n \) e una funzione biiettiva \(\displaystyle J \ni \tau = g(t)\in I \) (potrei aver scambiato le due curve nel definire \(\displaystyle g \) ma poco importa). Quello che fai è semplicemente tirar fuori la derivata e fare un cambio di variabili.
Ok, ora vedo di sistemare le cose secondo i vostri suggerimenti e vediamo se capisco.
Il mio professore si dilunga incredibilmente sulla sua calligrafia e ogni volta che dimostra qualcosa s'impappina e non giunge mai al dunque.
Risultato: appunti disastrosi e disconnessi.
"Zero87":
OT. Mi incuriosisce molto "spiegazioni poco attendibili".
Il mio professore si dilunga incredibilmente sulla sua calligrafia e ogni volta che dimostra qualcosa s'impappina e non giunge mai al dunque.
Risultato: appunti disastrosi e disconnessi.
Grazie mille, ho capito 
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