Curve equivalenti

[fra017]

Ciao ragazzi, sto studiando le curve in $n$ dimensioni ma ho alcuni dubbi che vorrei chiedervi:
1) una curva $\gamma$ è semplice se è iniettiva in $I$. Ma per essere iniettiva non devo associare ad un elemento dell'insieme di partenza uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo? In questo caso come puo una circonferenza o una spirale essere semplice se per esempio esitono rette del tipo $y=k$ che sono immagini di piu di una $x$?
2) quando su un esercizio mi chiede se due curve sono equivalenti dalla teoria so che l'applicazione ambiamento di parametrizzazione deve essere regolare e strettamente monotono. ma concretamente come la scrivo? vi riporto un esempio: $\gamma_1(t)=(cost,sint$ con $t\in(\pi,0)$
$\gamma_2(t)=(cos(2t),sin(2t))$ con $t\in(\pi/2,\pi)$
in questo caso qual'è?
3) come dimostro che due curve sono equivalenti?

Grazie in anticipo!

[snaffo]

Premetto che non so se sia giusta come idea ma basta che sostituisci gli estremi della curva nella formula parametrica della stessa ed il tuo risultato credo sia immediato!

[fra017]

Ciao, non penso basti sostituire semplicemente. Possibile che debba sfruttare la tangente alla curva?

[fra017]

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[fra017]

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[Kyl1]

1) Ad essere iniettiva è la funzione che parametrizza la curva, cioè per esempio per la circonferenza, $\gamma(t)$ (nelle tue notazioni) definita per $t in [0,2\pi[$
2) Ad esempio una è $s(t) = t/2$. Infatti hai $\gamma_2 @ s (t) = \gamma_2(s(t)) = \gamma_1(t)$ per $t in (0,\pi)$ (sto assumendo che hai fatto qualche errore nello scrivere i campi di definizione delle funzioni, altrimenti mi sono perso qualcosa..)
3) Basta che ti trovi un'applicazione cambiamento di parametro (ad esempio la $s$ di cui sopra)

[fra017]

1) ma quindi è sbagliato dire che una curva è semplice se è iniettiva, si dovrebbe dire è semplice se la funzione che la parametrizza è iniettiva giusto? per capire mi puoi fare un esempio di una curva non iniettiva allora?
2) 3) Ok capito!

[Kyl1]

Bè quando si parla di una "curva" in genere si intende in effetti il sostegno della parametrizzazione, ma in alcuni testi non si pone troppo l'accento sulla distinzione e si parla genericamente di "curva" anche per indicare la funzione di $RR$ in $RR^3$ (o $RR^2$), il che non so quanto sia proprio perché una curva (intesa come sostegno) può essere descritta da infinite funzioni. Un modo più preciso è forse di intendere allora la "curva" come la classe di equivalenza delle sue parametrizzazioni, ma per questo ti rimando a qualcuno più autorevole di me.

Comunque in questo caso non c'é ambiguità perché se si parla di iniettività non si può che riferirsi a una funzione. Un esempio di curva non semplice, i.e. di funzione non iniettiva nell'interno del suo dominio, è $(tcos(t),tsin(t))$ con $t in [-\pi,\pi]$ (puoi vedere come è fatta ad esempio qui)