Curve e campi scalari (derivabilità)

[anto_zoolander]

siano $f:X->RR, XsubseteqRR^n$ una funzione definita su un aperto di $RR^n$ e $phi:J->X$ una curva definita su un intervallo

se $phi$ è derivabile in $t_0 inJ$ e $f$ è differenziabile in $phi(t_0)$ allora $fcircphi$ è derivabile in $t_0$ e si ha $(fcircphi)'(t)=nablaf(phi(t))*phi'(t)$

per prima cosa $f(phi(t_0)+vec(h))=f(phi(t_0))+nablaf(phi(t_0))*vec(h)+o(||vec(h)||)$ per la diffenziabilità
essendo $vec(h)$ in un intorno $vec(0)$ poniamo $vec(h)(s)=phi(t_0+s)-phi(t_0)$ con $s$ in un intorno di $0$

si avrà $(f(phi(t_0+h))-f(phi(t_0)))/h=nablaf(phi(t_0))*((phi(t_0+h)-phi(t_0))/h)+(o(||phi(t_0+h)-phi(t_0)||))/h$

$nablaf(phi(t_0))*((phi(t_0+h)-phi(t_0))/h) -> nablaf(phi(t_0))*phi'(t_0)$

$(o(||phi(t_0+h)-phi(t_0)||))/h=(o(||phi(t_0+h)-phi(t_0)||))/(||phi(t_0+h)-phi(t_0)||)*||(phi(t_0+h)-phi(t_0))/h||*(|h|)/h$

$(|h|)/h$ è una quantità limitata

$(o(||phi(t_0+h)-phi(t_0)||))/(||phi(t_0+h)-phi(t_0)||) -> 0$

la norma $||*||$ è una funzione Lipschitziana pertanto continua su tutto $RR^n$ pertanto l'ultima quantità converge a $||phi'(t_0)||$ e tutto tende a $0$.

quindi $lim_(h->0)(f(phi(t_0+h))-f(phi(t_0)))/h=nablaf(phi(t_0))*phi'(t_0)$

sotto le stesse ipotesi si ha che il gradiente lungo una curva di livello è ortogonale alla curva stessa

di fatto considerato $L(lambda, f):={x inX:f(x)=lambda}$ se esiste un intervallo $J$ tale che esso sia parametrizzabile per mezzo di una curva $phi:J->X$ allora si avrebbe che $f(phi(t))=lambda,forallt inJ$ e quindi

$0=(f(phi(t)))'=nablaf(phi(t))*phi'(t),forall t inJ$

è corretto?

[gugo82]

A occhio, direi di sì.