Curve e aree
Ragazzi ho il seguente problema:
"Si consideri la curva nel piano definita nel modo seguente: $γ := { (ρ,ϑ) in RR^2 : ϑ in [0, ϑ_0 ], ρ= 2 sin^2 (2ϑ) } $ :
(a) si determini il più piccolo valore di $ϑ_0$ per il quale la curva risulti chiusa;
(b) si calcoli l'area della curva usando le formule di Gauss Green. "
Il primo problema è che non riesco a formalizzare in termini rigorosi la prima risposta!
Ho pensato che la risposta al punto a è pi greco peechè lì è il primo valore ripercorso. E' corretto? Se sì, come posso formularlo?
Al secondo invece ho forti dubbi! In questo caso la "f" chi sarebbe? Io ho pensato alla funzione costante 1, ma non riesco a darmi una spiegazione di ciò!
Grazie a tutti!
"Si consideri la curva nel piano definita nel modo seguente: $γ := { (ρ,ϑ) in RR^2 : ϑ in [0, ϑ_0 ], ρ= 2 sin^2 (2ϑ) } $ :
(a) si determini il più piccolo valore di $ϑ_0$ per il quale la curva risulti chiusa;
(b) si calcoli l'area della curva usando le formule di Gauss Green. "
Il primo problema è che non riesco a formalizzare in termini rigorosi la prima risposta!
Ho pensato che la risposta al punto a è pi greco peechè lì è il primo valore ripercorso. E' corretto? Se sì, come posso formularlo?
Al secondo invece ho forti dubbi! In questo caso la "f" chi sarebbe? Io ho pensato alla funzione costante 1, ma non riesco a darmi una spiegazione di ciò!
Grazie a tutti!
Risposte
Scusa ma la curva sarebbe in forma parametrica ?
Se si, qual è x equal è y ?
Se si, qual è x equal è y ?
Ci ho pensato, ma non riesco a capire qual è questa parametrizzazione!
Per la precisione, la curva ammette la seguente equazione cartesiana:
$[rho=2sin^2(2theta)] rarr [rho=8cos^2thetasen^2theta] rarr [rho^5=8rho^2cos^2thetarho^2sen^2theta] rarr$
$rarr [(x^2+y^2)^(5/2)=8x^2y^2] rarr [(x^2+y^2)^5=64x^4y^4]$
Vale la pena sottolineare che essa risulta simmetrica rispetto agli assi e alle bisettrici. Per una sua rappresentazione grafica puoi consultare questo link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... x%5E4y%5E4. In ogni modo, l'equazione $[rho=2sin^2(2theta)]$ rappresenta l'equazione della curva in forma non parametrica in coordinate polari, l'equivalente dell'equazione $[(x^2+y^2)^5=64x^4y^4]$ in coordinate cartesiane. Una sua rappresentazione parametrica in coordinate cartesiane risulta essere:
$\{(x=rho(theta)costheta),(y=rho(theta)sentheta):} rarr \{(x=2sin^2(2theta)costheta),(y=2sin^2(2theta)sentheta):} rarr \{(x=8cos^3thetasen^2theta),(y=8cos^2thetasen^3theta):}$
Lavorando in coordinate polari, mentre la periodicità di $[rho]$ risulta essere $[pi/2]$, quella di $[theta]$ è semplicemente $[2pi]$, come si evince da semplici considerazioni geometriche legate all'introduzione delle coordinate polari. In definitiva, il più piccolo valore di $[theta_0]$ affinchè la curva risulti chiusa è $[2pi]$.
$[rho=2sin^2(2theta)] rarr [rho=8cos^2thetasen^2theta] rarr [rho^5=8rho^2cos^2thetarho^2sen^2theta] rarr$
$rarr [(x^2+y^2)^(5/2)=8x^2y^2] rarr [(x^2+y^2)^5=64x^4y^4]$
Vale la pena sottolineare che essa risulta simmetrica rispetto agli assi e alle bisettrici. Per una sua rappresentazione grafica puoi consultare questo link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... x%5E4y%5E4. In ogni modo, l'equazione $[rho=2sin^2(2theta)]$ rappresenta l'equazione della curva in forma non parametrica in coordinate polari, l'equivalente dell'equazione $[(x^2+y^2)^5=64x^4y^4]$ in coordinate cartesiane. Una sua rappresentazione parametrica in coordinate cartesiane risulta essere:
$\{(x=rho(theta)costheta),(y=rho(theta)sentheta):} rarr \{(x=2sin^2(2theta)costheta),(y=2sin^2(2theta)sentheta):} rarr \{(x=8cos^3thetasen^2theta),(y=8cos^2thetasen^3theta):}$
Lavorando in coordinate polari, mentre la periodicità di $[rho]$ risulta essere $[pi/2]$, quella di $[theta]$ è semplicemente $[2pi]$, come si evince da semplici considerazioni geometriche legate all'introduzione delle coordinate polari. In definitiva, il più piccolo valore di $[theta_0]$ affinchè la curva risulti chiusa è $[2pi]$.
Ah! Cacchio grazie davvero! Non c'ero arrivato per niente!
Mi hai dato proprio un modo per passare in cordinate cartesiane! Grazie ancora!
Mi hai dato proprio un modo per passare in cordinate cartesiane! Grazie ancora!
Speculor non sono d'accordo: il valore minimo per cui la curva risulti chiusa è $\pi/2$.
"ciampax":
Speculor non sono d'accordo: il valore minimo per cui la curva risulti chiusa è $\pi/2$.
Forse comprendo la tua obiezione. Intendi dire che $[P(0)=P(pi/2)]$. Tuttavia, per $[theta>pi/2]$, la curva passa nel secondo, terzo e quarto quadrante. Solo dopo aver fatto un giro, passami il termine, essa si ripete completamente. Ho ritenuto di dover dare la priorità a questo aspetto del problema. Probabilmente, la condizione $[P(a)=P(b)]$ andrebbe verificata solo a patto che la curva abbia fatto il suo corso, passami ancora il termine.
Va bene, ma una curva è chiusa quando il punto iniziale coincide con quello finale, per cui il valore minimo è $\pi/2$. Cosa te ne fai del fatto che debba attraversare tutti i quadranti dell'Universo? 
Ah beh.
Ditelo subito che era in c.polari.....
Ditelo subito che era in c.polari.....
"ciampax":
Va bene, ma una curva è chiusa quando il punto iniziale coincide con quello finale, per cui il valore minimo è $\pi/2$. Cosa te ne fai del fatto che debba attraversare tutti i quadranti dell'Universo?
Hai senz'altro ragione. Però mi chiedevo se in questo caso avesse più senso verificare la condizione $[P(a)=P(b)]$ solo dopo essersi sincerato che la curva abbia fatto il suo corso. Voglio dire, se l'intervallo "naturale" è $[0,2pi]$, deve essere $[P(0)=P(2pi)]$. Se capita anche in mezzo, ho ritenuto di trascurarlo. In ogni modo, se la definizione non può essere stiracchiata, allora non posso che essere d'accordo.
Una curva $\gamma:[a,b]\rightarrow RR^n$ si dice chiusa se $\gamma(a)=\gamma(b)$. Punto. Per cui con $\pi/2$ risulta che tale curva (anche se solo un ramo) è chiusa. Dal momento che nell'esercizio l'intervallo scelto è $[0,\theta_0]$ (e non c'è scritto da nessuna parte che si debba scegliere $2\pi$ come punto finale) è ovvio che la scelta $\theta_0=\pi/2$ è la prima che ti permette di chiudere la curva.
In effetti anch'io avrei detto $\pi/2$
"ciampax":
Una curva $\gamma:[a,b]\rightarrow RR^n$ si dice chiusa se $\gamma(a)=\gamma(b)$. Punto. Per cui con $\pi/2$ risulta che tale curva (anche se solo un ramo) è chiusa. Dal momento che nell'esercizio l'intervallo scelto è $[0,\theta_0]$ (e non c'è scritto da nessuna parte che si debba scegliere $2\pi$ come punto finale) è ovvio che la scelta $\theta_0=\pi/2$ è la prima che ti permette di chiudere la curva.
Niente, mi sono fatto condizionare dalla falsa necessità di doverla percorrere tutta. Oggi è la mia terza topica. Non c'è male. Proverbio non mente.
Per la seconda domanda, puoi usare la formula di Gauss Green polare
$A=1/2\int_a^b \rho^2(\theta)\ d\theta$
se $\rho:[a,b]\rightarrow RR^2$ è la curva in coordinate polari. (Se non la conosci, essa risulta semplice da dimostrare partendo da
$\int\int_A dx\ dy=1/2\int_C (x\ dy-y\ dx)$
ed applicando il cambiamento di coordinate polari $x=\rho(\theta)\cos\theta,\ y=\rho(\theta)\sin\theta$).
$A=1/2\int_a^b \rho^2(\theta)\ d\theta$
se $\rho:[a,b]\rightarrow RR^2$ è la curva in coordinate polari. (Se non la conosci, essa risulta semplice da dimostrare partendo da
$\int\int_A dx\ dy=1/2\int_C (x\ dy-y\ dx)$
ed applicando il cambiamento di coordinate polari $x=\rho(\theta)\cos\theta,\ y=\rho(\theta)\sin\theta$).
"Quinzio":
In effetti anch'io avrei detto $\pi/2$
Ragazzi, non infierite.
"Quinzio":
Ah beh.
Ditelo subito che era in c.polari.....
Io ho riportato per intero il testo, quindi penso che bisognava dedurlo!
Grazie a tutti ragazzi! Ho chiari questi concetti grazie a voi!
Ma mi chiedevo una cosa, durante il compito come faccio a capire se ho una curva un pò più strana? Lì non avrò wolfram!
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