Curve di livello
Ho iniziato oggi il corso di Analisi Matematica 2 in particolare le funzioni di più variabili e ci hanno introdotto le curve di livello che stando alla definizio del mio professore sono curve con altitudine costante. Chi mi aiuta con una definizione un pò più da analisi matematica?
Risposte
Siano \(f:\mathbb{R}^2\subseteq \Omega\to \mathbb{R}\) e \(k\in \mathbb{R}\).
L'insieme \(\{f=k\}:=\{(x,y)\in \Omega:\ f(x,y)=k\}\) si chiama insieme di livello di \(f\) al livello \(k\).
Graficamente, l'insieme \(\{f=k\}\), quando non è vuoto, si ottiene così: disegna il grafico di \(f\) nello spazio \(Oxyz\); interseca tale grafico con il piano d'equazione \(z=k\); proietta l'intersezione di grafico e piano sul piano \(Oxy\): questa proiezione è il diagramma del tuo insieme \(\{f=k\}\).
Affinché un insieme di livello sia una "curva" (cioè una linea del piano che si ottiene deformando in maniera continua un intervallo della retta reale), invece, bisogna fare qualche ipotesi in più su \(f\) che credo vedrai più avanti.
L'insieme \(\{f=k\}:=\{(x,y)\in \Omega:\ f(x,y)=k\}\) si chiama insieme di livello di \(f\) al livello \(k\).
Graficamente, l'insieme \(\{f=k\}\), quando non è vuoto, si ottiene così: disegna il grafico di \(f\) nello spazio \(Oxyz\); interseca tale grafico con il piano d'equazione \(z=k\); proietta l'intersezione di grafico e piano sul piano \(Oxy\): questa proiezione è il diagramma del tuo insieme \(\{f=k\}\).
Affinché un insieme di livello sia una "curva" (cioè una linea del piano che si ottiene deformando in maniera continua un intervallo della retta reale), invece, bisogna fare qualche ipotesi in più su \(f\) che credo vedrai più avanti.
grazie mille della spiegazione molto utile
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