Curve di livello
Sia $f(x,y)=(2x-y)/sqrt(4x^2+y)$
Mi si chiede di tracciare le curve di livello 0 e 1.
Il dominio è $(-oo,0)U(0,+oo)$
Allora scrivo:
$C_o-> (2x-y)/sqrt(4x^2+y)=0$ da cui $2x-y=0 -> y=2x$, ovviamente non passa per $O(0,0)$
$C_1-> (2x-y)/sqrt(4x^2+y)=1$ da cui $2x-y=sqrt(4x^2+y) -> 4x^2+y^2-4(xy)=4x^2+y^2$, in quanto $4x^2+y^2>0$ d infine ho, semplificando, $xy=0$ ovvero gli assi cartesiani.
Fin dovrebbe essere corretto e spero senza errori....
però mi chiedo: se volessi calcolare un espressione generale delle curve di livello?
$(2x-y)/sqrt(4x^2+y)=k$ da cui $2x-y=ksqrt(4x^2+y)$, ma poi come vado avanti??
Mi si chiede di tracciare le curve di livello 0 e 1.
Il dominio è $(-oo,0)U(0,+oo)$
Allora scrivo:
$C_o-> (2x-y)/sqrt(4x^2+y)=0$ da cui $2x-y=0 -> y=2x$, ovviamente non passa per $O(0,0)$
$C_1-> (2x-y)/sqrt(4x^2+y)=1$ da cui $2x-y=sqrt(4x^2+y) -> 4x^2+y^2-4(xy)=4x^2+y^2$, in quanto $4x^2+y^2>0$ d infine ho, semplificando, $xy=0$ ovvero gli assi cartesiani.
Fin dovrebbe essere corretto e spero senza errori....
però mi chiedo: se volessi calcolare un espressione generale delle curve di livello?
$(2x-y)/sqrt(4x^2+y)=k$ da cui $2x-y=ksqrt(4x^2+y)$, ma poi come vado avanti??
Risposte
Distingui i casi: [tex]k\geq 0[/tex] implica ovviamente che deve essere [tex]2x-y\geq 0[/tex]; a questo punto puoi elevare al quadrato, ottenendo [tex]4x^2-4xy+y^2 = k^2(4x^2+y) \Rightarrow 4(1-k^2)x^2-4xy+y^2-k^2y=0[/tex]. Questa è l'equazione di una conica, che possiamo tranquillamente studiare con gli strumenti dell'Algebra Lineare. Scrivo la sua matrice:
[tex]\begin{bmatrix} 4(1-k^2) & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -\frac{k^2}{2} \\ 0 & -\frac{k^2}{2} & 0\end{bmatrix}[/tex]
il cui determinante è [tex]-\frac{k^2}{2}\cdot2k^2(1-k^2)=-k^4(1-k^2)[/tex]. Quindi la conica è degenere solo per [tex]k = 0[/tex], [tex]k=1[/tex] o [tex]k=-1[/tex]. La matrice della parte quadratica, invece, ha determinante [tex]4-4k^2-4=-4k^2[/tex] che è negativo per ogni valore di [tex]k[/tex] escluso 0. Questo significa che la conica è un'iperbole ruotata e traslata. Puoi proseguire lo studio della conica per tracciarne un grafico qualitativo.
Ricorda, però, quando poi tracci la curva di livello che siamo giunti a questo risultato con la condizione [tex]2x-y>0[/tex], quindi dovrai disegnare solo una parte dell'iperbole, quella che si trova nel semipiano individuato dalla precedente disuguaglianza.
In modo analogo procedi se [tex]k<0[/tex].
[tex]\begin{bmatrix} 4(1-k^2) & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -\frac{k^2}{2} \\ 0 & -\frac{k^2}{2} & 0\end{bmatrix}[/tex]
il cui determinante è [tex]-\frac{k^2}{2}\cdot2k^2(1-k^2)=-k^4(1-k^2)[/tex]. Quindi la conica è degenere solo per [tex]k = 0[/tex], [tex]k=1[/tex] o [tex]k=-1[/tex]. La matrice della parte quadratica, invece, ha determinante [tex]4-4k^2-4=-4k^2[/tex] che è negativo per ogni valore di [tex]k[/tex] escluso 0. Questo significa che la conica è un'iperbole ruotata e traslata. Puoi proseguire lo studio della conica per tracciarne un grafico qualitativo.
Ricorda, però, quando poi tracci la curva di livello che siamo giunti a questo risultato con la condizione [tex]2x-y>0[/tex], quindi dovrai disegnare solo una parte dell'iperbole, quella che si trova nel semipiano individuato dalla precedente disuguaglianza.
In modo analogo procedi se [tex]k<0[/tex].
grazie!
"Knuckles":
$C_o-> (2x-y)/sqrt(4x^2+y)=0$ da cui $2x-y=0 -> y=2x$, ovviamente non passa per $O(0,0)$
Mi sa che devi escludere anche altri punti oltre l'origine, non credi?
"Knuckles":
$C_1-> (2x-y)/sqrt(4x^2+y)=1$ da cui $2x-y=sqrt(4x^2+y) ->$ $4x^2+y^2-4(xy)=4x^2+y^2$, in quanto $4x^2+y^2>0$ d infine ho, semplificando, $xy=0$ ovvero gli assi cartesiani.
A secondo membro non c'è un quadrato di troppo?
Prima mi era sfuggito, ma che cosa vuol dire che il dominio è [tex](-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/tex]? Stiamo lavorando con una funzione di due variabili reali, quindi il suo dominio deve essere un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex], e ci sono altri punti da escludere oltre l'origine.
scusate.... ho sbagliato
la funzione è $f(x,y)=(2x-y)/sqrt(4x^2+y^2)$
la funzione è $f(x,y)=(2x-y)/sqrt(4x^2+y^2)$
quindi il dominio è $R^2-{0,0}$
Ok.
quindi per trovare l'eq generale delle curve di livello ottengo per $k>=0 -> 4(1-k^2)x^2+(1-k^2)y^2-4xy=0$ ma da cosa mi accorgo che tipo di eq è?
Visto che non ci sono termini in [tex]y[/tex], quell'equazione si risolve come ogni equazione di secondo grado in [tex]y[/tex].
si ma c'è $x^2$... scusa sono un po confuso...
Tratta [tex]x[/tex] come parametro.
Prova a vedere cosa esce fuori.
Prova a vedere cosa esce fuori.
$y=(2x+- sqrt(4x^2-4(1-k^2)^2x^2))/(1-k^2)$
Che scritto un po' meglio è:
[tex]$y=\frac{2}{1-k^2} \left( x \pm |x| \sqrt{1-(1-k^2)^2}\right)$[/tex].
Quindi per [tex]k> 0 \text{ e } k\neq 1[/tex] hai una curva di livello divisa in due rami, uno corrispondente al segno [tex]+[/tex], l'altro corrispondente al segno [tex]-[/tex].
[tex]$y=\frac{2}{1-k^2} \left( x \pm |x| \sqrt{1-(1-k^2)^2}\right)$[/tex].
Quindi per [tex]k> 0 \text{ e } k\neq 1[/tex] hai una curva di livello divisa in due rami, uno corrispondente al segno [tex]+[/tex], l'altro corrispondente al segno [tex]-[/tex].
che sono delle rette giusto?
"maurer":
Distingui i casi: [tex]k\geq 0[/tex] implica ovviamente che deve essere [tex]2x-y\geq 0[/tex]; a questo punto puoi elevare al quadrato, ottenendo [tex]4x^2-4xy+y^2 = k^2(4x^2+y) \Rightarrow 4(1-k^2)x^2-4xy+y^2-k^2y=0[/tex]. Questa è l'equazione di una conica, che possiamo tranquillamente studiare con gli strumenti dell'Algebra Lineare. Scrivo la sua matrice:
[tex]\begin{bmatrix} 4(1-k^2) & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -\frac{k^2}{2} \\ 0 & -\frac{k^2}{2} & 0\end{bmatrix}[/tex]
il cui determinante è [tex]-\frac{k^2}{2}\cdot2k^2(1-k^2)=-k^4(1-k^2)[/tex]. Quindi la conica è degenere solo per [tex]k = 0[/tex], [tex]k=1[/tex] o [tex]k=-1[/tex]. La matrice della parte quadratica, invece, ha determinante [tex]4-4k^2-4=-4k^2[/tex] che è negativo per ogni valore di [tex]k[/tex] escluso 0. Questo significa che la conica è un'iperbole ruotata e traslata. Puoi proseguire lo studio della conica per tracciarne un grafico qualitativo.
Ricorda, però, quando poi tracci la curva di livello che siamo giunti a questo risultato con la condizione [tex]2x-y>0[/tex], quindi dovrai disegnare solo una parte dell'iperbole, quella che si trova nel semipiano individuato dalla precedente disuguaglianza.
In modo analogo procedi se [tex]k<0[/tex].
scusa ma da cosa hai capito che erano delle iperboli? che procedimento hai fatto?
Aspè, però... Ci siamo dimenticati di dire che il radicando dev'essere positivo: pertanto salta fuori una ricchissima condizione sulla scelta di [tex]k[/tex], ossia [tex]1-(1-k^2)^2\geq 0[/tex] che implica:
[tex]-1\leq 1-k^2\leq 1 \Leftarrow \begin{cases} -k^2\leq 0 &\text{ sempre verificata} \\
k^2 \leq 2 & \text{ verificata per $-\sqrt{2} \leq k\leq \sqrt{2}$}\end{cases}[/tex]
Perciò hai linee di livello solo per [tex]-\sqrt{2} \leq k \leq \sqrt{2}[/tex].
Se distingui i casi e scrivi bene le equazioni, dovresti trovare due semirette che hanno origine in [tex](0,0)[/tex], poiché la tua funzione è omogenea di grado zero, ossia è cortante su ogni semiretta uscente dall'origine.
Il fatto che trovi due rette dipende dal fatto che l'equazione della generica la curva di livello è una funzione di [tex]k^2[/tex]; in tal modo è facile confondere la curva corrispondente a [tex]-k[/tex] e quella corrispondente a [tex]k[/tex]... Se fai bene i conti, però, dovresti trovare solo le suddette due semirette.
[tex]-1\leq 1-k^2\leq 1 \Leftarrow \begin{cases} -k^2\leq 0 &\text{ sempre verificata} \\
k^2 \leq 2 & \text{ verificata per $-\sqrt{2} \leq k\leq \sqrt{2}$}\end{cases}[/tex]
Perciò hai linee di livello solo per [tex]-\sqrt{2} \leq k \leq \sqrt{2}[/tex].
Se distingui i casi e scrivi bene le equazioni, dovresti trovare due semirette che hanno origine in [tex](0,0)[/tex], poiché la tua funzione è omogenea di grado zero, ossia è cortante su ogni semiretta uscente dall'origine.
Il fatto che trovi due rette dipende dal fatto che l'equazione della generica la curva di livello è una funzione di [tex]k^2[/tex]; in tal modo è facile confondere la curva corrispondente a [tex]-k[/tex] e quella corrispondente a [tex]k[/tex]... Se fai bene i conti, però, dovresti trovare solo le suddette due semirette.
ok... un po laborioso 
ma capito... comunque sapresti spiegarmi il procedimento con i determinanti della matrice associata per riconoscere la conica?
ma capito... comunque sapresti spiegarmi il procedimento con i determinanti della matrice associata per riconoscere la conica?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo