Curve definite su un intervallo chiuso ma non derivabili agli estremi
Ciao. Ho un dubbio abbastanza stupido sulle curve regolari.
Facciamo che una curva sia una funzione continua \( \gamma\colon \left[a,b\right]\to F \) di un intervallo reale a valori in un qualche spazio normato. Facciamo anche che esita il limite
\[
\dot\gamma(t) = \lim_{t\to 0}\frac{\gamma(t_0 + t) - \gamma(t_0)}{t}
\] per ogni \( t_0\in \left]a,b\right[ \), ma che non esistano necessariamente i limiti
\[
\dot\gamma(a) = \lim_{\substack{t\to 0\\t > 0}}\frac{\gamma(a + t) - \gamma(a)}{t}\qquad\text{e}\qquad \dot\gamma(b) = \lim_{\substack{t\to 0\\t < 0}}\frac{\gamma(b + t) - \gamma(b)}{t}
\] e supponiamo che la funzione
\[
\dot\gamma\colon \left]a,b\right[\to F
\] sia continua.
Quanto schifo può fare \( \gamma \)?
Facciamo che una curva sia una funzione continua \( \gamma\colon \left[a,b\right]\to F \) di un intervallo reale a valori in un qualche spazio normato. Facciamo anche che esita il limite
\[
\dot\gamma(t) = \lim_{t\to 0}\frac{\gamma(t_0 + t) - \gamma(t_0)}{t}
\] per ogni \( t_0\in \left]a,b\right[ \), ma che non esistano necessariamente i limiti
\[
\dot\gamma(a) = \lim_{\substack{t\to 0\\t > 0}}\frac{\gamma(a + t) - \gamma(a)}{t}\qquad\text{e}\qquad \dot\gamma(b) = \lim_{\substack{t\to 0\\t < 0}}\frac{\gamma(b + t) - \gamma(b)}{t}
\] e supponiamo che la funzione
\[
\dot\gamma\colon \left]a,b\right[\to F
\] sia continua.
Quanto schifo può fare \( \gamma \)?
Risposte
Ma che domanda ti pare sia "quanto schifo può fare una funzione"?
Comunque, di solito si scrive \(C^1_{\mathrm{loc}}(a, b; F)\) per denotare esattamente lo spazio delle funzioni che hai descritto sopra. Lo puoi caratterizzare in termini integrali. Una funzione è in quello spazio esattamente se
\[
\gamma(t)=\int_{t_0}^t \eta(\tau)\, d\tau, \]
per una funzione \(\eta\in L^1_{\mathrm{loc}}(a, b;F)\setminus L^1(a, b;F)\). A posteriori, \(\eta=\dot\gamma\).
Non c'è niente di interessante nel supporre \(F\) così generale. Prendendo \(F=\mathbb C\) già hai una visione completa.
Quello che mi viene in mente è che se i limiti della detivata agli estremi esistono allora in quei punti è derivabile con derivata uguale a quel limite. Altro di concreto non mi viene in mente.
Allora, in realtà non avevo in mente una domanda precisa, volevo solo capire quanto pericoloso fosse assumere la derivabilità solamente in \( \left]a,b\right[ \).
Se avessi voluto mostrare del tutto quanto ho le idee confuse avrei addirittura chiesto quanto distante potrebbe essere \( \gamma \) dall'essere una parametrizzazione di una sottovarietà \( 1 \)-dimensionale di \( F \) (dove \( F \) può benissimo essere posto uguale a \( \mathbb R^n \)).
Non ho ben capito quali sono le implicazioni del fatto che \( \gamma\in \mathrm L^1_{\text{loc}} \), ma forse perché devo ancora studiare bene quelle cose.
Se avessi voluto mostrare del tutto quanto ho le idee confuse avrei addirittura chiesto quanto distante potrebbe essere \( \gamma \) dall'essere una parametrizzazione di una sottovarietà \( 1 \)-dimensionale di \( F \) (dove \( F \) può benissimo essere posto uguale a \( \mathbb R^n \)).
Non ho ben capito quali sono le implicazioni del fatto che \( \gamma\in \mathrm L^1_{\text{loc}} \), ma forse perché devo ancora studiare bene quelle cose.
"dissonance":Beh ad esempio se ti chiedessi "quanto schifo può fare \( f^\prime \)" per una \( f \) derivabile la risposta potrebbe essere "abbastanza" (o "non troppo", credo dipenda dal punto di vista).
Ma che domanda ti pare sia "quanto schifo può fare una funzione"?
Dire che \(\gamma\in L^1_{\mathrm{loc}}\) significa semplicemente dire che l'integrale \(\int_{\alpha}^\beta \gamma(s)\, ds\) ha senso per \(a<\alpha\le\beta
Ma scordati queste robe con gli integrali. Ora che hai riformulato la domanda penso di poter dare una risposta più interessante per te.
Queste domande sono migliori della domanda originale. Il tipico esempio qui è la "figure eight"
In questa figura, il dominio di questa curva è \(\mathbb R\). Ma siccome \((a, b)\) è diffeomorfo a \(\mathbb R\), puoi equivalentemente prenderlo come dominio. Questo esempio tu non lo vuoi come sottovarietà di \(\mathbb R^2\), perché non ha uno spazio tangente ben definito nel centro dell'otto.
Ma scordati queste robe con gli integrali. Ora che hai riformulato la domanda penso di poter dare una risposta più interessante per te.
Allora, in realtà non avevo in mente una domanda precisa, volevo solo capire quanto pericoloso fosse assumere la derivabilità solamente in ]a,b[.
Se avessi voluto mostrare del tutto quanto ho le idee confuse avrei addirittura chiesto quanto distante potrebbe essere γ dall'essere una parametrizzazione di una sottovarietà 1-dimensionale di F (dove F può benissimo essere posto uguale a Rn).
Queste domande sono migliori della domanda originale. Il tipico esempio qui è la "figure eight"
In questa figura, il dominio di questa curva è \(\mathbb R\). Ma siccome \((a, b)\) è diffeomorfo a \(\mathbb R\), puoi equivalentemente prenderlo come dominio. Questo esempio tu non lo vuoi come sottovarietà di \(\mathbb R^2\), perché non ha uno spazio tangente ben definito nel centro dell'otto.
Eccomi. Allora, l'esempio dell'\( 8 \) non mi soddisfa più di tanto. Chi mi impedisce ad esempio di considerare
\[
\gamma(t) = (\cos t,\sin t)
\] per \( t\in \left[0,2\pi\right] \)? Il suo supporto è una sottovarietà di \( \mathbb R^2 \) (è \( S^1 \)!), eppure \( \gamma \) è definita su un intervallo chiuso e non è manco iniettiva (dove nella definizione di parametrizzazione che abbiamo data a lezione è chiesto che \( \gamma \) sia invertibile).
Ti faccio un domanda più soft: l'ultimo semestre ho incontrato qualcosa come tre definizioni di sottovarietà di \( \mathbb R^n \), tuttavia ci ho capito poco. Figurati se abbiamo mai parlato di varietà "astratte", quindi a tempo perso mi sto recuperando qualcosa, perché la situazione ovviamente non mi soddisfa. Secondo te è meglio se torno su queste cose dopo che ho più chiara la nozione di sottovarietà (cioè tra qualche giorno)? Perché ora mi sa che non ce l'ho.
\[
\gamma(t) = (\cos t,\sin t)
\] per \( t\in \left[0,2\pi\right] \)? Il suo supporto è una sottovarietà di \( \mathbb R^2 \) (è \( S^1 \)!), eppure \( \gamma \) è definita su un intervallo chiuso e non è manco iniettiva (dove nella definizione di parametrizzazione che abbiamo data a lezione è chiesto che \( \gamma \) sia invertibile).
Ti faccio un domanda più soft: l'ultimo semestre ho incontrato qualcosa come tre definizioni di sottovarietà di \( \mathbb R^n \), tuttavia ci ho capito poco. Figurati se abbiamo mai parlato di varietà "astratte", quindi a tempo perso mi sto recuperando qualcosa, perché la situazione ovviamente non mi soddisfa. Secondo te è meglio se torno su queste cose dopo che ho più chiara la nozione di sottovarietà (cioè tra qualche giorno)? Perché ora mi sa che non ce l'ho.
Tutto normale. Questa fu la mia prima domanda su Math.SE:
https://math.stackexchange.com/q/28353/8157
Queste sono le tipiche definizioni che ognuno si adatta a modo suo. Il che è normale, perché a seconda di cosa uno voglia fare, ha bisogno di enfatizzare un aspetto oppure un altro. Le varie definizioni hanno una certa compatibilità, non sempre una totale equivalenza.
-----
Quanto a $S^1$, stai confondendo due cose differenti. Certo che è una sottovarietà, solo che non è l'immagine di una singola parametrizzazione. Invece l'otto è l'immagine di una singola *immersione* (ATTENZIONE: non tutti sarebbero d'accordo con questa nomenclatura), ma non è una sottovarietà.
https://math.stackexchange.com/q/28353/8157
Queste sono le tipiche definizioni che ognuno si adatta a modo suo. Il che è normale, perché a seconda di cosa uno voglia fare, ha bisogno di enfatizzare un aspetto oppure un altro. Le varie definizioni hanno una certa compatibilità, non sempre una totale equivalenza.
-----
Quanto a $S^1$, stai confondendo due cose differenti. Certo che è una sottovarietà, solo che non è l'immagine di una singola parametrizzazione. Invece l'otto è l'immagine di una singola *immersione* (ATTENZIONE: non tutti sarebbero d'accordo con questa nomenclatura), ma non è una sottovarietà.
Okay, devo leggere qualcosa su immersioni e "sommersioni" (?), perché anche qui ci ho capito poco. Il Tu o il Marsden ne parlano, vediamo se riesco a capirci qualcosa prima o poi. Grazie!
Quello che volevo dire, nel mio post precedente, è che se ti sembra di non capirci niente è perfettamente normale. Nella mia esperienza ti posso garantire che quasi nessuno ci capisce niente. Solo chi si occupa di queste robe tutti i giorni, e forse neanche loro. Ma questo non impedisce loro di USARE queste definizioni. Penso sia una buona idea, usare le definizioni invece di scervellarsi tanto per cercare di capirle a fondo (come feci io a suo tempo).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo