Curve aperte e chiuse
Ho la seguente curva $C(t):=(x(t),y(t))$ nel piano in equazione parametrica:
$x(t)= \alphacos(t)-cos(\alpha t)$
$y(t)=\alphasin(t)-sin(\alpha t)$
e vorrei dimostrare questa affermazione:
Se $C(t)$ è una funzione non iniettiva (cioè $C(t)=C(t')$ implica $t$ diverso da $t'$) allora $\alpha$ è un numero razionale.
Quadrando e sommando la x e la y (cioè facendo $(x(t))^2+(y(t))^2= (x(t'))^2+(y(t'))^2 $) sono arrivato alla relazione $(1-\alpha)(t-t')=2k\pi$ con $k \in Z$. Vorrei trovare un'altra relazione che mi lega la differenza tra t e t' a qualche multiplo di pigreco in modo tale da poter dividere membro a membro e poter concludere, solo che non riesco a tirare fuori una relazione valida. Qualcuno ha qualche idea?
$x(t)= \alphacos(t)-cos(\alpha t)$
$y(t)=\alphasin(t)-sin(\alpha t)$
e vorrei dimostrare questa affermazione:
Se $C(t)$ è una funzione non iniettiva (cioè $C(t)=C(t')$ implica $t$ diverso da $t'$) allora $\alpha$ è un numero razionale.
Quadrando e sommando la x e la y (cioè facendo $(x(t))^2+(y(t))^2= (x(t'))^2+(y(t'))^2 $) sono arrivato alla relazione $(1-\alpha)(t-t')=2k\pi$ con $k \in Z$. Vorrei trovare un'altra relazione che mi lega la differenza tra t e t' a qualche multiplo di pigreco in modo tale da poter dividere membro a membro e poter concludere, solo che non riesco a tirare fuori una relazione valida. Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Occhio... Dire che una funzione non è iniettiva non significa che $C(t) = C(t')\Rightarrow t!= t'$, ma che esistono $t!=t'$ tali che $C(t) = C(t')$, ossia che l'equazione $C(t) = C(t')$ in $t'$ ha qualche soluzione diversa da quella banale $t'=t$.
Inoltre, prima di impelagarti in contazzi ignobili, prova a semplificarti la vita usando le formule di adduzione e sottrazione.
Inoltre, prima di impelagarti in contazzi ignobili, prova a semplificarti la vita usando le formule di adduzione e sottrazione.
Hai ragione sul fatto della non iniettività, ho scritto una fesseria. Ho fatto talmente tanti conti inutili che ho perso interesse per questo quesito; ho provato sia addizione e poi prostaferesi e altre combinazioni ma senza risultato. Se mi dici la giusta combinazione te ne sarei grato
Ma sei sicuro che l'affermazione sia corretta??? Non è che stai cercando di dimostrare qualcosa che non è vero?
Come affermazione è vera però non riesco a dimostrarla.
Graficamente a me non convince tanto come affermazione. Ho l'impressione che l'affermazione così com'è non sia vera.
La curva in questione è una specifica epicicloide. Puoi anche provare a fare qualche ricerca su internet e vedere che la curva è chiusa se e solo se il rapporto tra i raggi delle circonferenze è razionale.
Alt un attimo!!! Questo è un altro discorso... originariamente il problema era
Ora tu mi stai dicendo che "Se $C(t) è una curva chiusa (e non una funzione iniettiva) allora $\alpha$ è razionale".
Ok, quest'affermazione mi convince molto di più!!
"Pigreco2016":
e vorrei dimostrare questa affermazione:
Se C(t) è una funzione non iniettiva (cioè C(t)=C(t') implica t diverso da t') allora α è un numero razionale.
Ora tu mi stai dicendo che "Se $C(t) è una curva chiusa (e non una funzione iniettiva) allora $\alpha$ è razionale".
Ok, quest'affermazione mi convince molto di più!!
Dire che una curva è chiusa significa che la funzione che non è iniettiva, non sei d'accordo con questa affermazione? Comunque sia, dato che la nuova affermazione ti convince di più, sapresti aiutarmi a tirare fuori $\alpha$ razionale?
"Pigreco2016":
Dire che una curva è chiusa significa che la funzione che non è iniettiva, non sei d'accordo con questa affermazione?
si ma ci sono valori di $\alpha$ (non necessariamente razionali) per cui la curva non è né iniettiva né chiusa
"Pigreco2016":
Comunque sia, dato che la nuova affermazione ti convince di più, sapresti aiutarmi a tirare fuori $\alpha$ razionale?
uhm... proverò a pensarci...
In generale:
Nel caso in esame:
Epicicloide generata da una crf di raggio $r$ che rotola senza strisciare su una crf di raggio $R$
$\{(x=(R+r)cost-rcos((R+r)/rt)),(y=(R+r)sint-rsin((R+r)/rt)):}$
Condizione epicicloide chiusa
$[m(2\pir)/R=2n\pi] rarr [r/R=n/m]$
Nel caso in esame:
$\{(r=1),(R=\alpha-1):} rarr \{(x=\alphacost-cos(\alphat)),(y=\alphasint-sin(\alphat)):} ^^ [\alpha=m/n+1]$
Ecco io vorrei vedere come tiri fuori la condizione di epicicloide chiusa da $C(t)=C(t')$. Il ragionamento che si fa di solito è quello geometrico dove si richiede che il punto che giace nella circonferenza che rotola senza strisciare ripassi nello stesso punto dopo m giri nella circonferenza fissa all'ennesimo giro della circonferenza che rotola. Su questo ragionamento penso di esserci.
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